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| Aufgabe | In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe S3 der Bi-
jektionen der Menge {1, 2, 3}.
i) Geben sie alle Untergruppen U von S3 an.
ii) Welche der Untergruppen von S3 sind Normalteiler?
iii) Geben sie für alle Normalteiler von U <| S3 die Gruppenstruktur auf S3/U an.
iv) Gibt es einen surjektiven Grp.homo S3 [mm] \rightarrow \IZ/3\IZ [/mm] . |
zu i:
Also habe ich mir mal die Gruppenelemente notiert:
[mm] e=\pmat{ 1 & 2&3 \\1&2& 3 }=(1), [/mm] ord(e)=1
[mm] a=\pmat{ 1 & 2&3 \\2&3& 1 }=(1,2,3), [/mm] ord(a)=3
[mm] b=\pmat{ 1 & 2&3 \\3&1& 2 }=(1,3,2), [/mm] ord(b)=3
[mm] c=\pmat{ 1 & 2&3 \\1&3& 2 }=(3,2)(1), [/mm] ord(c)=2
[mm] d=\pmat{ 1 & 2&3 \\3&2& 1 }=(1,3)(2), [/mm] ord(d)=2
[mm] f=\pmat{ 1 & 2&3 \\2&1& 3 }=(1,2)(3), [/mm] ord(d)=2
[mm] S_{3}= [/mm] { e,a,b,c,d,f }
So und dann mal die Gruppentafel aufgestellt:
[mm] \pmat{ \circ &e&a&b&c&d&f \\ e&e & a&b&c&d&f \\ a&a&b&e&d&f&c \\ b&b&e&a&f&c&d \\ c&c&f&d&e&b&a \\ d&d&c&f&a&e&b \\ f&f&d&c&b&a&e}
[/mm]
Stimmt das so?
Jetzt suche ich alle möglichen Untergruppen:
Auf jeden Fall gehören {e} und [mm] S_{3} [/mm] dazu...und wie kann ich die anderen finden? Wenn ich mir die Grptafel anschaue, dann finden sich dort ja Elemte die eine Untergruppe sind, z.B {e,a,b}. Nur das geht doch bestimmt irgendwie auch anders ohne schauen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
was sagt denn der Satz von Lagrange? Was kannst du daraus für Schlüsse für die Eigenschaften der Untergruppen ziehen?
So siehst du recht schnell die Untergruppen!
Grüße
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Jo, den hatte ich auch gerade entdeckt: |U| | |G| , also |U| teilt |G|.
Also kommen nur Untergruppen der Ordnung 1,2,3,6 in Frage, oder?
Das senkt die mögliche Anzahl dann ja schon erheblich, nur weiss ich immer noch nicht recht, wie ich aus den übrigen die richtigen jetzt finden kann, ohne alle zu probieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Naja wenn du weißt, dass deine nichtrivialen Untergruppen nur Ordnung 2 und 3 haben, und du auch weißt, dass die Ordnung der Elemente die Gruppenordnung teilen muss, dann siehst du die Untergruppen eigentlich direkt. > Jo, den hatte ich auch gerade entdeckt: |U| | |G| , also
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Könntest du mir bitte etwas genauer sagen, warum man dann die Untergruppen direkt sieht? Ich sehe da zwar acuh etwas, doch leider ist mir das noch sehr verschwommen. :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
> In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe
> S3 der Bi-
> jektionen der Menge {1, 2, 3}.
>
> i) Geben sie alle Untergruppen U von S3 an.
> ii) Welche der Untergruppen von S3 sind Normalteiler?
> iii) Geben sie für alle Normalteiler von U <| S3 die
> Gruppenstruktur auf S3/U an.
> iv) Gibt es einen surjektiven Grp.homo S3 [mm]\rightarrow \IZ/3\IZ[/mm]
> .
> zu i:
>
> Also habe ich mir mal die Gruppenelemente notiert:
>
> [mm]e=\pmat{ 1 & 2&3 \\1&2& 3 }=(1),[/mm] ord(e)=1
>
> [mm]a=\pmat{ 1 & 2&3 \\2&3& 1 }=(1,2,3),[/mm] ord(a)=3
>
> [mm]b=\pmat{ 1 & 2&3 \\3&1& 2 }=(1,3,2),[/mm] ord(b)=3
>
> [mm]c=\pmat{ 1 & 2&3 \\1&3& 2 }=(3,2)(1),[/mm] ord(c)=2
>
> [mm]d=\pmat{ 1 & 2&3 \\3&2& 1 }=(1,3)(2),[/mm] ord(d)=2
>
> [mm]f=\pmat{ 1 & 2&3 \\2&1& 3 }=(1,2)(3),[/mm] ord(d)=2
>
> [mm]S_{3}=[/mm] { e,a,b,c,d,f }
>
Du hast hier 3 Elemente der Ordnung 2 und weißt, dass du Unterruppen mit Ordnung 2 suchst. Elemente einer Gruppe mit Ordnung 2 haben entweder Ordnung 1 oder 2. Transpostionen haben immer Ordnung 2 (hast du ja eh). Also hast du drei Gruppen der Ordnung 2. Nämlich? Du hast weiter noch 2 Elemente der Ordnung 3 und suchst noch eine Untergruppe der Ordnung 3. Also eine Gruppe in der das neutrale Element enthalten ist und zwei weitere Elemente der Ordnung 3. So nun sollte es aber klar sein oder?
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Viel klarer...
U1={e}
U2={e,a,b,c,d,f}
U3={e,c}
U4={e,d}
U5={e,f}
U6={e,a,b}
und jetzt suche ich die Normalteiler...
z.z.:gU=Ug mit g [mm] \in [/mm] G
Passt der Ansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Ja passt. Was weißt du denn noch über Normalteiler? Dann siehst du einen sofort!
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Man weiss auch, dass [mm] gUg^{-1} \in [/mm] U. Das scheint mir auch leichter zu rechnen...hattest du das gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Was weißt du denn über den Index?
Oder eine andere Argumentation. Wenn U [mm] \le [/mm] G Untergruppe von G ist und U die einzige Untergruppe von G mit Ordnung ord(U), dann ist U Normalteiler in G.
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Gut, da bleibt dann ja nur noch U6 übrig, oder?
Wenn ich das für die anderen über [mm] gUg^{-1} [/mm] zeigen wollen würde, müsste ich das dann für alle nachrechnen? Also z.B. g {e,c} [mm] g^{-1} [/mm] mit [mm] g\in [/mm] {a,b,d,f}.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Vergiss nicht die trivialen Normalteiler!
Hier ists ausführlich: http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/archiv/linalg1Doerk/loesung5.pdf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Do 10.05.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Ah ok, also wirklich durchrechnen, wenn man das nette Argument nicht hat. :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 10.05.2012 | | Autor: | teo |
Für iv) helfen dir die Isomorphiesätze!
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Mal ne grobe Frage zu iv): Gibt es denn überhaupt einen?
Ich verstehe das zwar noch nicht ganz, aber bislang glaube ich eher nein...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Sa 12.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
eine Frage. Ist die Angabe oben richtig? Sollte da nicht evtl. stehen ob es einen surjektiven Gruppenhom von [mm] S_3 \to \IZ_{2\IZ} [/mm] gibt?
Weil dann wärs einfach.
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Ne leider kein Tippfehler von mir, die Aufgabe steht so da...das dachte ich nämlich auch zuerst und weil nach meiner Meinung S3/U3 nicht isomorph ist zum Bild f(S3) ist, kann es dann keinen surjektiven Grp.homo. geben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Sa 12.05.2012 | | Autor: | teo |
Entschuldige bitte für die ganzen Revisionen! Bin grad selber verwirrt gewesen.
Also aber jetzt:
Du könntest dir ja auch konkret einen Homomorphismus überlegen:
[mm]\phi: S_3 \to \IZ/3\IZ [/mm]
[mm] id \mapsto \overline{0} [/mm]
[mm] (12) \mapsto \overline {1}[/mm]
[mm] (13) \mapsto \overline {1}[/mm]
[mm] (23) \mapsto \overline {1}[/mm]
[mm] (123) \mapsto \overline {2}[/mm]
[mm] (132) \mapsto \overline {2} [/mm]
und das ist dann ein Homomorphismus?
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Wenn ich das nachprüfe, dann stelle ich fest, es ist keiner.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, es gibt nicht mal einen Homomorphismus von [mm] S_3 \to \IZ/3\IZ [/mm] also erst recht keinen surjektiven. Allerdings muss ich zugeben, dass ich nicht weiß, wie man das jetzt allgemein zeigt. Sry
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