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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Di 09.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Aufgabe habe ich gelöst:
Sei G eine Gruppe mit aa=e für alle [mm] a\in [/mm] G, wobei e das neutrale Element von G bezeichnet. Zeigen Sie, dass G abelsch ist.
Nachdem ich mehrere Ansätze hatte, aber nicht wirklich eine Idee, wie ich das lösen konnte, stand dann auf meinem Schmierzettel folgendes:
es gilt (ab)(ab)=e
anders geklammert sieht das folgendermaßen aus:
a(ba)b=e
nun gilt aber genauso:
(ba)(ba)=e
wiederum anders geklammert:
b(ab)a=e
also gilt:
a(ba)b=b(ab)a
Nun multipliziere ich diese Gleichung von rechts mit a und erhalte:
a(ba)ba=b(ab)
[mm] \gdw
[/mm]
a=b(ab)
diese Gleichung multipliziere ich von links mit b:
ba=ab
und damit ist der Beweis erbracht!?
Ist das so richtig?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Di 09.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
Ich habe keinen (schwerwiegenden) Fehler entdeckt.
Etwas unsicher/sekptisch bin ich bei "von rechts multipliziert" und später "von links multipliziert".
Gegenvorschlag: 
$(ab)(ab) \ = \ e$ [mm] $\left| \ *b$ Und immer einheitlich von rechts multipliziert!
$(ab)(ab)b \ = \ eb$
$aba(bb) \ = \ b$
$aba(e) \ = \ b$
$aba \ = \ b$ $\left| \ *a$
$abaa \ = \ ba$
$ab(aa) \ = \ ba$
$ab(e) \ = \ ba$
$ab \ = \ ba$ Fertig!
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Di 09.08.2005 | | Autor: | SEcki |
> Etwas unsicher/sekptisch bin ich bei "von rechts
> multipliziert" und später "von links multipliziert".
Das war schon alles richtig - aber halt auch sehr umständlich.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 09.08.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Christiane,
es geht auch anders, aber so geht es auch!
Mein Vorschlag:
ab = (ab)^-1 = (b^-1)(a^-1) = ba (Inversion kehrt Reihenfolge um!)
Ich glaube immer noch, daß man ohne den Editor leben kann.
Gruß aus HH-Harburg, 16 Grad Celsius machen richtig gute Laune
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 09.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
wie Thorsten schon schreibt : es scheint keinen Fehler in deiner Argumentation zu geben, aber es geht auch viel einfacher:
Ich verstehe aber nicht ganz, wo das Problem von den verschiedenen Seiten multiplizieren sein soll - man bildet doch nur bestimmte Produkte von Elementen - wobei man einige danach noch zusammen fassen kann.
aus (ab)(ab)=e ergibt sich
mit: von links mit a und von rechts mit b multipliziert der Einzeiler:
ba=a(ab)(ab)b=aeb=ab
Also wen man äquivalent von rechts multiplizieren darf , dann auch von links - dies sind die beiden Kürzungsregeln in einer Gruppe.
(vgl.  Meyberg Abschnitt 1.3)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Di 09.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Loddar!
> Meine leichte Skepsis zu mal "von rechts" bzw. mal "von
> links" entstand durch den Verdacht, dass dies ja bereits
> die Gültigkeit des Kommutativgesetzes voraussetzt, was wir
> ja gerade erst zeigen wollen.
Ist es nicht gerade so, dass man "nur normal multipliziert", wenn das Ganze kommutativ ist? Dann ist es doch total egal, ob man von rechts oder von links multipliziert, weil es ja eben kommutativ ist. Und dann brauche ich das auch gar nicht zu sagen, weil ich, je nachdem, wie ich es haben will, dass Element links oder rechts daneben schreibe.
> War halt so ein Bauchgefühl (oder doch Hunger?
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ), aber natürlich lasse ich mich auch gerne
> eines besseren belehren ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]") ...
Mittlerweile was gegessen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Di 09.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
...ihr seid ja schneller als die Polizei erlaubt! Gerade hatte ich die Antwort von Loddar geöffnet, da die Ladezeit so lange dauerte, bin ich gerade auf Klo gegangen, und jetzt stehen da schon soo viele Antworten... Vielen Dank euch allen.
Ich weiß auch nicht, wo das Problem bei der Multiplikation von links und von rechts sein soll, ich meine mich erinnern zu können, dass der Prof das auch immer so gemacht hat (oder, Andreas? Herr Pop hat das doch bestimmt so gemacht).
Naja, danke auch für die Alternativen, nur weiß ich meistens nicht, wie ich auf so etwas kommen soll...
Viele Grüße
Christiane
P.S.: Und @ statler: Du hättest nur eine geschweifter Klammer um deinen Exponenten machen brauchen, und schon wäre es richtig schön zu lesen gewesen. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Di 09.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja der Herr Pop hat vieles gemacht...
aber Thorsten hat irgendwie schon recht - mir will gerade nicht einleuchten, warum man überhaupt multiplizieren darf und die Gleichheit dabei erhalten bleibt.
im Meyberg Abschnitt 1.3 stehen ja die Kürzungsregeln, bsp:
ac=bc => a=b
aber nicht umgekehrt ! also aus a=b kann man ja nicht folgern, dass ac=bc ...
hmm - mal darüber nach grübelnnn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 09.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
Ahhh, klar ...
bei der inneren Verknüpfung liefert ja (a,c) das selbe Ergebnis wie (b,c) , wenn a=b , wg. der Eindeutigkeit der Abbildung...
analog dann natürlich auch von links multipliziert...
nun gut - das war halt ein Kaffee zu wenig...
Dafür stehen wir jetzt auf sicheren Füßen mit unseren kurzen Beweisen.
vielen Dank und viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 09.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo, es geht doch viel einfacher:
abab = e Durch Multiplikation von rechts erst mit b, dann mit a, folgt direkt
ab = ba (u.a. aufgrund des in der Gruppe geltenden Assoziativgesetzes)
MfG djmatey.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Di 09.08.2005 | | Autor: | DaMenge |
hi,
und wo ist der Unterschied zu dem, was Loddar gesagt hat?
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Di 09.08.2005 | | Autor: | djmatey |
... hatte nicht komplett gelesen (einen Strang übersehen), sorry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Di 09.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hi DaMenge!
Ich hab's halt super-ausführlich hingeschrieben ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Mi 10.08.2005 | | Autor: | mathedman |
Das gilt übrigens auch schon in einem Monoid:
Es gilt [mm]abab = e[/mm], also
[mm]ba = bae = baabab = bbab = ab.[/mm]
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