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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 28.10.2006 | | Autor: | apple81 |
| Aufgabe | | Geben Sie alle Gruppen der Ordnung 10 bis auf Isomorphie an. |
ich kann mit dieser aufgabe nicht weiter,weil ich die nicht verstehen kann.was bedeutet das eigentlich,was muss angegeben werden.hat jd einen Tipp.bin fuer jede hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Gib mal deine mailaddy, dann schick ich dir, was wir in er Übung dazu gemacht haben 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Sa 28.10.2006 | | Autor: | apple81 |
was bedeutet eigentlich "bis auf isomorohie"?kann jd mir vielleicht erklaeren?
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> was bedeutet eigentlich "bis auf isomorohie"?kann jd mir
> vielleicht erklaeren?
> danke im voraus
Schau dir zum Beispiel die Gruppen der Ordnung 1 an: Wenn $x$ ein beliebiges Objekt ist (eine Menge oder was auch immer), dann nimm [mm] $G_x [/mm] := [mm] \{ x \}$ [/mm] mit der Verknuepfung $x [mm] \cdot_x [/mm] x := x$. Dann ist [mm] $(G_x, \cdot_x)$ [/mm] eine Gruppe, die genau ein Element hat.
Da es unendlich viele verschiedene Objekte $x$ gibt (du kannst z.B. alle reellen Zahlen nehmen fuer $x$), erhaelst du so unendlich viele verschiedene Gruppen, die aber doch irgendwie alle gleich sind: Sie sind alle isomorph!
Sprich: bis auf Isomorphie gibt es genau eine Gruppe der Ordnung 1. Denn hast du zwei Gruppen der Ordnung 1, so gibt es einen Isomorphismus zwischen ihnen.
Genauso ist es mit Gruppen der Ordnung 2 und 3.
Bei Gruppen der Ordnung 4 gibt es zwei verschiedene Isomorphieklassen: Und zwar [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$. [/mm] Diese beiden Gruppen sind nicht zueinander isomorph, aber jede andere Gruppe mit vier Elementen ist zu genau einer dieser beiden isomorph.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie alle Gruppen der Ordnung 10 bis auf Isomorphie
> an.
> ich kann mit dieser aufgabe nicht weiter,weil ich die
> nicht verstehen kann.was bedeutet das eigentlich,was muss
> angegeben werden.hat jd einen Tipp.bin fuer jede hilfe
> dankbar.
Du sollst zu jedem $n [mm] \in \{ 1, 2, \dots, 10 \}$ [/mm] eine endliche Menge von Gruppen [mm] $G_1, \dots, G_k$ [/mm] der Ordnung $n$ angeben, $k [mm] \in \IN$, [/mm] so, dass jede Gruppe $G$ mit $|G| = n$ zu genau einer der [mm] $G_1, \dots, G_{k_n}$ [/mm] isomorph ist.
(Insbesondere sollen die Gruppen [mm] $G_i$ [/mm] und [mm] $G_j$ [/mm] genau dann isomorph sein, wenn $i = j$ ist.)
Fuer Gruppen der Ordnung 1, 2, 3, 5 und 7 ist es einfach.
Bei Gruppen von Primzahlquadrat-Ordnung (4, 9) ist es auch einfach, da solche Gruppen immer abelsch sind.
Bei den Ordnungen $n = 6, 8, 10$ ists etwas schwieriger. Zu 8 und 10 gibts gerade eine andere Frage von g_hub, und zu 6 gibt es eine kommutative und eine nicht-kommutative Gruppe (beide solltest du kennen, du musst ``nur noch'' zeigen, dass jede beliebige Gruppe der Ordnung 6 zu einer von beiden isomorph ist).
LG Felix
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