Gruppe-axiom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei R ein Ring mit Eins-Element.Dann nennt man a e R invertierbar ,falls es ein a^-1 e R gibt mit a*a^-1=1 Die Menge der invertierbarwen Elemente beziechnen wir mit E(R).
Zeigen Sie ,dass E(R) eine Gruppe bzgl mal ist |
Meine Frage wäre wie beweise den
Gruppenaxiom: V a e E(R) gibt ein a^-1 e E(R)=a*a^-1=1
zu zeigen : a^-1 e E(R)
sei a e E(R) => 1=a*a^-1=?????
und dann wie gehts weiter
mir ist klar warum a^-1 e E(R) ,weiß nicht wie man da weiter rann geht ,ich hoffe ein guter mathematiker hilft mir dabei weiter rann zu gehen danke voraus
|
|
| |
|
Hallo!
Du bist nun schon ein Weilchen in diesem Forum. Da ist es doch sicherlich möglich, daß du die Möglichkeiten dieses Forum nutzt, um deine mathematischen Ausdrücke etwas ansprechender zu gestalten. Das mag ein wenig mehr Arbeit für dich sein, aber hey, einerseits kommst du als Mathematiker eh nicht um LaTex drumherum, andererseits machst du das ganze für die anderen etwas besser lesbar. (Insbesondere das 'V' finde ich irgendwie krass...)
Ich habs mal geändert, das ist nicht viel:
> Sei R ein Ring mit Eins-Element.Dann nennt man $a [mm] \in [/mm] R $
> invertierbar ,falls es ein [mm] $a^{-1} \in [/mm] R$ gibt mit [mm] $a*a^{-1}=1$ [/mm] Die
> Menge der invertierbarwen Elemente beziechnen wir mit
> E(R).
>
> Zeigen Sie ,dass E(R) eine Gruppe bzgl mal ist
> Meine Frage wäre wie beweise den
> Gruppenaxiom: [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] E(R)$ gibt ein [mm] $a^{-1} \in E(R)=a*a^{-1}=1$
[/mm]
>
> zu zeigen : [mm] $a^{-1} \in [/mm] E(R) $
>
> sei $a [mm] \in [/mm] E(R) [mm] \Rightarrow 1=a*a^{-1}=?????$
[/mm]
> und dann wie gehts weiter
>
> mir ist klar warum [mm] $a^{-1} \in [/mm] E(R)$ ,weiß nicht wie man da
> weiter rann geht ,ich hoffe ein guter mathematiker hilft
> mir dabei weiter rann zu gehen danke voraus
Was jetzt die Aufgabe angeht, das ist so trivial, daß es tatsächlich schwer fällt, das zu formulieren. Ich würde sagen, da das invertierte Element natürlich auch invertierbar ist, und dies wieder das ursprüngliche Element ist, ist das invertierte natürlich auch in E:
[mm] $(a^{-1})^{-1}=a \in [/mm] R [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] E $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Do 16.08.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Frage ist vermutlich, wie man im Falle eines nicht-kommutativen Ringes die Eigenschaft $ [mm] a^{-1} [/mm] * a = 1 $ nachweist.
|
|
|
| |
|
> Sei R ein Ring mit Eins-Element.Dann nennt man a e R
> invertierbar ,falls es ein a^-1 e R gibt mit a*a^-1=1 Die
> Menge der invertierbarwen Elemente beziechnen wir mit
> E(R).
>
> Zeigen Sie ,dass E(R) eine Gruppe bzgl mal ist
> Meine Frage wäre wie beweise den
> Gruppenaxiom: V a e E(R) gibt ein a^-1 e E(R)=a*a^-1=1
>
[mm] \red{Wie\ Sax\ richtig\ bemerkt,\ ist\ diese\ Antwort\ nicht\ korrekt.\
Sie\ w"are\ richtig,\ wenn\ ein\ kommutativer\ Ring\ gefordert\ w"are,\ oder\ die\ "ubliche\ Definition\ des\ inversen\ Elementes\ gegeben.}
[/mm]
Hallo,
um das zu zeigen nimmst Du Dir ein a [mm] \in [/mm] E(R).
Da E(R) ja gerade die invertierbaren Elemente aus R enthält, ist a invertierbar.
D.h. es gibt ein [mm] b\in [/mm] E(R) mit a*b=b*a=1.
Mehr fällt mir dazu auch nicht ein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:09 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
laut Definition der Aufgabenstellung wird "Invertierbarkeit" so erklärt, dass nur die Existenz eines rechtsinversen Elementes [mm] $a^{-1} [/mm] $ zu a mit [mm] $a*a^{-1}=1 [/mm] $, nicht aber $ [mm] a^{-1}*a=1 [/mm] $ gefordert wird.
Es stellt sich daher die Frage, ob diese zweite Bedingung aus der ersten gefolgert werden kann.
Dazu wird sicherlich die additive Struktur des Ringes benötigt, denn für eine Halbgruppe mit Einselement folgt aus $a [mm] \in [/mm] E $ nicht, dass auch [mm] $a^{-1} \in [/mm] E $ gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 01:20 Sa 18.08.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
>
> laut Definition der Aufgabenstellung wird
> "Invertierbarkeit" so erklärt, dass nur die Existenz eines
> rechtsinversen Elementes [mm]a^{-1}[/mm] zu a mit [mm]a*a^{-1}=1 [/mm], nicht
> aber [mm]a^{-1}*a=1[/mm] gefordert wird.
Ah, jetzt erkenne ich das Problem!
> Es stellt sich daher die Frage, ob diese zweite Bedingung
> aus der ersten gefolgert werden kann.
Hast Du eine Antwort auf diese Frage?
Ich habe noch keine gefunden.
Gruß v. Angela
> Dazu wird sicherlich die additive Struktur des Ringes
> benötigt, denn für eine Halbgruppe mit Einselement folgt
> aus [mm]a \in E[/mm] nicht, dass auch [mm]a^{-1} \in E[/mm] gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Sa 18.08.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
haben wir nicht "etwas" mehr als eine Halbgruppe, da doch sicherlich 1 [mm] \in [/mm] E ist? Das scheint mir aber noch nicht zu reichen. Ist vielleicht die Definition von "invertierbar" nicht vollständig zitiert? Ich kenne sie nur so, dass sowohl ein links- als auch ein rechtsinverses Element (nicht notwendig das gleiche) existieren muss.
gruß korbinian
|
|
|
| |
|
> Ist vielleicht die Definition von "invertierbar"
> nicht vollständig zitiert?
Hallo,
bzgl. Decehakans Problem gehe ich davon aus, daß das der Fall ist, bzw. daß er die Kommutativität der Multiplikation verschwiegen hat und somit mit meinem kl. Beweis völlig richtig liegen würde.
Aber trotzdem: was wäre, wenn's so gemeint wäre, wie es geschrieben steht?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Obwohl die Sache schon überfällig ist, kurz zu allen Antworten:
Ihr verbeißt euch in Links- und Rechts-invers-Geschichten und Existenzfragen, aber darum geht es hier überhaupt nicht. Es geht um den unten gezeigten Punkt G4.
Ein Ring (z.B. alle geraden ganzen Zahlen) muss gar kein Einselement haben, und wenn er eins hat (wie z.B. der Ring der ganzen Zahlen), muss es zu keiner Zahl (außer 1) ein Inverses geben.
Hier haben wir aber offenbar einen Ring, der Zahlen enthält, zu denen es eine Inverses gibt. Diese "Einheiten" fassen wir nun zu einer Menge zusammen. Nun soll gezeigt werden, das diese Untermenge eine Gruppe ist.
G1: Die Menge besitzt ein neutrales Element.
Klar, die 1 des Ringes, denn da diese zu sich selbst
invers ist, hat sie ein Inverses und ist selbst
Mitglied der Menge.
G2: Jedes Element besitzt ein Inverses in dieser Menge, mit
dem es als Produkt 1 ergibt.
Klar: Wir haben ja nur Elemente aufgenommen, die ein
Inverses haben, und weil das jeweilige Inverse ja unser
Ausgangselement als Inverses haben, ist es ebenfalls
mit in der Menge.
G3: Assoziativität ist klar, da die Verknüpfung eine
Ringverknüpfung und damit assoziativ ist.
G4: ABGESCHLOSSENHEIT:
Hier liegt der Hase begraben! Während die obigen 3
Gruppenaxiome klar erkennbar auf der Hand liegen,
muss nun gezeigt werden: sind a und b invertierbar,
so auch ab.
Beweis: Da a und b invertierbar sind, gibt es [mm] a^{-1} [/mm]
und [mm] b^{-1}. [/mm] Da beides Ringelemente sind, gibt es somit
auch das Podukt der beiden [mm] x=b^{-1}a^{-1}. [/mm] Dann ist
[mm] (ab)x=(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1} [/mm] da assoziativ
[mm] =a(1)a^{-1}=aa^{-1}=1.
[/mm]
Also hat auch ab ein Inverses x und gehört damit zur
Menge E(R).
E(R) ist somit eine Gruppe.
|
|
|
| |
|
>
> Ihr verbeißt euch in Links- und Rechts-invers-Geschichten
> und Existenzfragen, aber darum geht es hier überhaupt
> nicht. Es geht um den unten gezeigten Punkt G4.
Nein, darum geht es uns nicht. Uns - bzw. mir - geht es tatsächlich um Deinen Punkt G2.
> G2: Jedes Element besitzt ein Inverses in dieser Menge,
> mit
> dem es als Produkt 1 ergibt.
> Klar: Wir haben ja nur Elemente aufgenommen, die ein
> Inverses haben,
Ja. Aber in Decehakans Aufgabe ist das Inverse kein "richtiges" Inverses, sondern "invers" ist dort "rechtsinvertierbar".
(Man liest dort: "Dann nennt man a e R invertierbar ,falls es ein a^-1 e R gibt mit a*a^-1=1".)
> und weil das jeweilige Inverse ja unser
> Ausgangselement als Inverses haben,
Nein. Wie Sax sagte: mit der "invers-Definition" dieser Aufgabenstellung nicht.
Wenn a invertierbar ist durch b, ab=1 ist, wissen wir eben nicht, ob es ein c gibt mit bc=1.
> ist es ebenfalls
> mit in der Menge.
Der Beweis steht aus - falls es einen gibt.
Mit einem "richtigen" inversen Element wäre das alles ja sehr einfach.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 20.08.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
> Der Beweis steht aus - falls es einen gibt.
Es gibt keinen Beweis, da ein Gegenbeispiel bekannt ist.
Bei (noch) vorhandenem Interesse kann ich es gerne hier posten.
Gruß korbinian
|
|
|
| |
|
> Es gibt keinen Beweis, da ein Gegenbeispiel bekannt ist.
Hallo,
damit könnten wir die Frage nun endlich auf beantwortet stellen.
> Bei (noch) vorhandenem Interesse kann ich es gerne hier
> posten.
ich würde mich sehr dafür interessieren!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 16:18 Mo 20.08.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo,
> Hier haben wir aber offenbar einen Ring, der Zahlen
> enthält, zu denen es eine Inverses gibt.
Das steht nicht in der Aufgabe. Dort ist definiert, wann ein Element eines Rings mit 1 "invertierbar" heißt. Es soll gezeigt werden, dass die Menge E(R) der so definierten invertierbaren Elemente eine Gruppe bilden.
Da sie das nicht sind, wie folgendes Gegenbeispiel zeigt, vermute ich, dass die Definition von invertierbar nicht vollständig angegeben wurde.
Gegenbeispiel ( aus Fischer/Sacher: Einführung in die Algebra):
Die Menge F aller Folgen [mm] (x_0,x_1,x_2,......) [/mm] reeller Zahlen ist zusammen mit der gliedweisen Addition eine Gruppe. Die Abbildungen
f:F [mm] \to [/mm] F, [mm] (x_0,x_1,x_2,......) \mapsto (x_1,x_2,......) [/mm] und
[mm] g:F\to [/mm] F, [mm] (x_0,x_1,x_2,......) \mapsto(0,x_0,x_1,x_2,......) [/mm]
sind Elemente des Endomorphismenrings R von F ( mit den Verknüpfungen + und [mm] \circ [/mm] , Einselement ist [mm] id_F) [/mm] und es gilt
[mm] f\circ [/mm] g [mm] =id_F
[/mm]
Mit der Bezeichnung aus unserer Aufgabe ist also f [mm] \in [/mm] E(R).
Da aber f nicht injektiv ist, gibt es kein h [mm] \in [/mm] R mit h [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_F. [/mm] Also kann E(R) keine Gruppe sein, da es in R , also auch in E(R) kein Inverses zu f gibt.
Gruß korbinian
|
|
|
|
