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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen [mm] f:x=0,5*2^x [/mm] und g:x=-3*2^-2x
a) Durch welche geometrischen Operationen gehen die Graphen von f und g aus dem Graphen der Exponentialfunktion [mm] h:x=2^x [/mm] hervor.
b) Bestimmen sie rechnerisch die Funktionstherme f^-1(x) und g^-1(x) und geben sie die Funktionen f^-1 und g^-1 an.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei Aufgabe a) denke ich, dass bei der ersten Funktion eine Dehnung in y-Richtung um 0,5 vorliegt und bei der zweiten Funktion eine Dehnung um -3 und eine Spiegelung um -2.
Bei der Aufgabe b) verstehe ich überhaupt nicht, was ich machen soll.
Wer kann mir detailliert helfen?
Danke schon im Voraus.
Gruß Chris
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[mm] $\text{Hi,}$
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[mm] $\text{Hier sollst du also die Umkehrfunktionen von f und g bilden, das heißt,}$
[/mm]
[mm] $\text{dass du x und y vertauschen sollst, um dann wieder nach y aufzulösen (mit Hilfe des Logarithmus):}$
[/mm]
[mm] $\log_{10} x\equiv\lg x$\quad$\text{(das kannst du in den Taschenrechner eingeben!)}$
[/mm]
[mm] $f:f(x)=y_{1}=0,5*2^x \Rightarrow f^{-1}:f^{-1}(x)=x=0,5*2^{y_{1}} \gdw \bruch{x}{0,5}=2^{y_{1}} \gdw \lg\left(\bruch{x}{0,5}\right)=\lg2^{y_{1}} \gdw \lg\left(\bruch{x}{0,5}\right) \gdw y_{1}*\lg [/mm] 2$
[mm] \gdw f^{-1}:f^{-1}(x)=\bruch{\lg\left(\bruch{x}{0,5}\right)}{\lg 2}
[/mm]
[mm] $\text{Für diese Umformung muss dir das Logarithmusgesetz}$\quad$\log_{b} a^x \equiv x*\log_{b} a$\quad$\text{bekannt sein.}$
[/mm]
[mm] \text{Dasselbe machst du jetzt bei}\quad$h(x)$\quad\text{:}
[/mm]
[mm] $h:h(x)=y_{2}=-3*2^{-2x} \Rightarrow h^{-1}:h^{-1}(x)=x=-3*2^{-2y{_2}} \gdw -\bruch{x}{3}=2^{-2y{_2}} \gdw \lg \left(-\bruch{x}{3}\right)=\lg 2^{-2y{_2}} \gdw \lg \left(-\bruch{x}{3}\right)=-2y_{2}*\lg [/mm] 2$
[mm] \gdw h^{-1}:h^{-1}(x)=-\bruch{\lg \left(-\bruch{x}{3}\right)}{2\lg 2}
[/mm]
[mm] \text{Grüße,}
[/mm]
[mm] \text{Stefan.}
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