Grenzwertz Distribution < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \[f_n (x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ n^2 x, & \mbox{für } 0\le x\le 1/n \\ n^2(2/n-x), & \mbox{für } 1/n\le x\le 2/n \\ 0, & \mbox{für } 2/n\le x \end{cases}\]
[/mm]
Man zeige [mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=0\] [/mm] und berechne den Grenzwert der zugehörigen, regulären temperierten Distribution [mm] \[T_{f_n(x)}\] [/mm] |
Falls [mm] \[n\rightarrow\infty\] [/mm] geht, ist die Funktion Null für Werte [mm] \[x\le 0\] [/mm] und für [mm] \[0\le x\], [/mm] denn [mm] \[2/n\to 0\], [/mm] ferner gilt dann [mm] \[f=n^2 x\] [/mm] für [mm] \[0\le x\le [/mm] 0, [mm] x=0\] [/mm] und [mm] \[f=n^2(2/n-x)\] [/mm] für [mm] \[0\le x\le [/mm] 0, [mm] x=0\], [/mm] wobei ich vorerst nur den Grenzwert der Intervalle betrachtet habe. Überall dort, wo f nicht ohnehin 0 nicht ist, ist nun aber x=0, sodass [mm] \[\limes n^2*0=0\] [/mm] und [mm] \[\limes n^2(2/n-0)=0\]. [/mm] Ich habe also zweimal den Grenzwert gebildet, einmal für die Grenzen, in denen die Funktion verschiedene Werte annimmt, und einmal für diese Werte selbst, wo ich aber gleich benützt habe, dass x dort aufgrund der Grenzen Null ist. Dann ist f aber überall null für [mm] \[n\to\infty\] [/mm] und somit [mm] \[\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=0\]. [/mm] Ist diese Vorgehensweise zu rechtfertigen, oder entzieht sie sich jeder mathematischen Grundlage?
Zum zweiten Punkt: Ich habe die Distribution explizit angeschrieben, d.h.
[mm] \[T_f_n=\integral_{0}^{1/n}{n^2 x*\phi(x) dx}+\integral_{1/n}^{2/n}{n^2(2/n-x)*\phi(x) dx}\]
[/mm]
Wenn ich jetzt den Grenzwert bilde, dann darf ich das nach dem Satz über dominierte Konvergenz auch unter dem Integral tun, was ist aber mit den Grenzen? Wenn ich den Grenzwert der Integralgrenzen bilde, erhalte ich zwei Integrale von 0 bis 0 und das ergibt 0 (im Distributionssinn). Wenn ich den Grenzwert unter dem Integral bilde, dann kommt da nichts sinnvolles raus. Bitte um Hilfe, wie weiter vorzugehen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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