Grenzwertsätze < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 08.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | [mm] $X_n$ [/mm] sei eine $B(n, v)$-verteilte Zufallsgröße, $n [mm] \in \IN$, [/mm] $0 < v < 1$. Weiterhin sei [mm] $\alpha [/mm] > - [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Zeigen Sie:
(a) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v + n^{\alpha} \right) [/mm] = 0$
(b) [mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = 1$ |
Hey ihr!
Ich hänge bei der Aufgabe... :(
Bisher habe ich:
[mm] $\mathbb{P} (\{ X_n = k \}) [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} v^k [/mm] (1 - [mm] v)^{n-k}$ [/mm] (Definition Binomialverteilung)
Dann gilt ja:
[mm] $\mathbb{P} (\{ X_n \ge k \}) [/mm] = [mm] \summe_{i=k}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i}$
[/mm]
Wenn ich mir jetzt (a) angucke, dann erhalte ich:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \ge v + n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n (v + n^{\alpha}) \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \summe_{i=n(v+n^{\alpha})}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i} [/mm] = 0$, da $n(v + [mm] n^{\alpha}) [/mm] > n$
bei (b) erhalte ich dann:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n (v - n^{\alpha}) \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \summe_{i=n(v-n^{\alpha})}^{n} \vektor{n \\ i} v^i [/mm] (1 - [mm] v)^{n-i}$
[/mm]
Ich denke, ich hab mal wieder voll den falschen Ansatz. Ich hab auch versucht einen passenden Grenzwertsatz zu finden, aber war nix dabei! :(
Kann mir einer Tipps geben?
Viel Dank für eure Hilfe!!
Gruß, Julia
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Di 08.02.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
wende Tschebyscheff an. Dann kommst du schnell ans Ziel.
[mm] E(X_n)=? [/mm]
Bedenke: [mm] P(X_n-E(X_n)>b)\le P(|X_n-E(X_n)|>b)
[/mm]
Gruß
Fry
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp.... Hatte mir das zwar angeguckt, bin aber nie darauf gekommen, dass ich das darauf anwenden kann... :)
Es gilt ja [mm] $\mathbb{E}(X_n) [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] v$ und [mm] $\mathbb{V}(X_n) [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] v(1-v)$
Somit folgt bei (a)
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n \ge n \cdot v - n^{\alpha+1} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge n^{\alpha +1 } \right) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left| X_n - nv \right| \ge n^{\alpha + 1} \right) \overset{Tschebyschev}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{\mathbb{V}}{n^{2(\alpha + 1)}} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{nv(1-v)}{n^{2(\alpha+1)}} [/mm] = 0$
Wir können ja Tschebyschev nur anwenden, wenn [mm] $n^{\alpha + 1} [/mm] > 0$ gilt. Das ist ja hier der Fall, da $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
und bei (b) kann ja Tschebyschev nicht angewandt werden, da ja folgt:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge - n^{\alpha +1 } \right)$ [/mm] und $- [mm] n^{\alpha + 1} [/mm] < 0$. :(
Ich verzweifle... :( Da denkt man, dass man es verstanden hat und dann kommt das nächste Problem.... Kann das nicht alles einfach sein?
EDIT: IDEE:
Ich hab mir das jetzt so überlegt:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \ge v - n^{\alpha} \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( X_n - nv \ge - n^{\alpha +1 } \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( - X_n + nv < n^{\alpha +1 } \right) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \left| X_n - nv \right| \le n^{\alpha +1 } \right) \overset{Tschebyschev}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] 1 - [mm] \bruch{n v (1-v)}{n^{\alpha + 1}} [/mm] = 1 - [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{v(1-v)}{n^{\alpha}} [/mm] = 1 - 0 = 1$
Das dürfte doch jetzt passen, oder? Darf ich die Umformungen machen: [mm] $X_n [/mm] - nv [mm] \geq -n^{\alpha + 1} \Leftrightarrow [/mm] - [mm] X_n [/mm] + nv < [mm] n^{\alpha+1} [/mm] $ und $nv - [mm] X_n \le [/mm] |nv - [mm] X_n| [/mm] = [mm] |X_n [/mm] - nv|$?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Do 10.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 08.02.2011 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Sei [mm] $X_n \sim [/mm] B(n,p), 0 < p < 1, n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeigen Sie [mm] $ \forall \varepsilon [/mm] > 0, n [mm] \uparrow \infty$
[/mm]
1. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p - \varepsilon \right) \rightarrow [/mm] 0$
2. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p + \varepsilon \right) \rightarrow [/mm] 1$
3. [mm] $\mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p \right) \rightarrow \bruch{1}{2}$ [/mm] |
Noch ein paar Aufgaben in diese Richtung.
bei 1. stehe ich wieder vor dem Problem, dass $- [mm] \varepsilon \cdot [/mm] n < 0$ gilt.
Also bei der Umformung
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \le p - \varepsilon \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( X_n - n \cdot p \le - \varepsilon \cdot n \right)$
[/mm]
bei 2. erhalte ich
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left( \bruch{X_n}{n} \le p + \varepsilon \right) [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( X_n - n \cdot p \le \varepsilon \cdot n \right) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n - n \cdot p \right| \le \varepsilon \cdot n \right) \overset{Tschebyschev}{=} \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] 1 - [mm] \bruch{np(1-p)}{\varepsilon^2 n^2} [/mm] = 1 - [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{np(1-p)}{\varepsilon^2 n^2} [/mm] = 1 - 0 = 1 $
Düfte so stimmen, oder?
bei 3. kann ich ja die Markov-Ungleichung anwenden.
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P} \left( \bruch{X_n}{n} \le p \right) \overset{Markov}{\le} \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{E(g(X_n))}{g(p)}$
[/mm]
für eine beliebige monoton steigende Funktion $g: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $\mathbb{E}[g(X)] [/mm] < + [mm] \infty$.
[/mm]
Darf ich mir jetzt irgendeine Funktion auswählen?? Wenn ich jetzt einfach $g(x) = 2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \cdot [/mm] n$ wähle, erhalte ich ja:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{E(g(X_n))}{g(p)} [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \bruch{np}{2np} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$...
[/mm]
Darf ich das einfach so machen?? Da hab ich mir die Funktion ja einfach zusammen gesetzt! Bin ganz verwirrt...
AHHH... Mist... kann da ja doch nicht Markov anwenden! :( Oder gilt wieder: [mm] $\mathbb{P}(\{X_n < a \}) \le [/mm] 1 - [mm] \bruch{\mathbb{E}[g(X)]}{g(a)}$ [/mm] wie auch bei Tschebyschev (Tschebyscheff, Tschebyschow, oder wie auch immer)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:04 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi wolle,
ich kann was zur letzten Sache sagen:
Wenn g(x)=2*x*n, dann [mm] g(\bruch{X_n}{n})=2*X_n. [/mm] Du hast also einen Faktor 2 im Zähler vergessen. Prinzipiell dürftest du aber jedes g nehmen, dass die nötigen Anforderungen erfüllt.
Vorschlag: betrachte [mm] P(\bruch{X_n}{n}\le p)=P(X_n\le n*p)=P(X_n-n*p\le 0)=P(\bruch{X_n-n*p}{\wurzel{n*p*q}}\le [/mm] 0) und benutze den zentralen GWS.
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:31 Mo 14.02.2011 | | Autor: | Walde |
Für die erste Aufgabe kannste mal das hier durchlesen, wenm du nichts besseres findest. Mit der Aussage des Satzes bzw (der)Aufgabe, der/die da gezeigt wird müsste es gehen.
|
|
|
|
