Grenzwerte von Funktionen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Meryy |
Hallo liebes Team,
ich beginne grade mit dem Leistungskurs Mathe in der 11 Klasse (Gymnasium).
Wir haben letze Stunde mit den Grenzwerten von Funktionen angefangen, dabei haben wir dann auch die h-Methode kennengelernt. Das Prinzip verstehe ich, doch bei einer Beispielaufgabe kann ich mir nicht erklären, was unsere Lehrerin da gerechnet hat.
Ausgangsfunktion: f(x)= 3x²-12 / x²+x-2 ( / = Bruchstrich)
Dann haben wir die pq-Formel am Nenner angewand und x1=1 und x2=-2 rausbekommen. Dann h-Methode mit 1+h, sodass ich als letze Etappe
lim h->0 3(h+2-9/h) / h+3 habe. Dann soll der nächste Schritt
3(0+2-unednlich)/3 Warum -unednlich wenn h gegen 0 geht ?
Als Endergebniss hat der Lehrer uns dann angegeben :
lim x->1+ f(x)= -unendlich . ?? warum x->1hoch+ (1hoch+ soll die Polstelle sein) und warum am ende nur noch -unendlich? Was passiert mit den anderen Zahlen ?
oh da hab ich mal wieder geplaudert ;)
Danke schon mal für voraussichtliche Hilfe :D
Lg Meryy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Maryy und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo liebes Team,
> ich beginne grade mit dem Leistungskurs Mathe in der 11
> Klasse (Gymnasium).
> Wir haben letze Stunde mit den Grenzwerten von Funktionen
> angefangen, dabei haben wir dann auch die h-Methode
> kennengelernt. Das Prinzip verstehe ich, doch bei einer
> Beispielaufgabe kann ich mir nicht erklären, was unsere
> Lehrerin da gerechnet hat.
> Ausgangsfunktion: f(x)= 3x²-12 / x²+x-2 ( / =
> Bruchstrich)
Boah, das ist ohne Formeleditor nur mühsam zu entziffern.
Was du geschrieben hast, ist gem. Punkt- vor Strichrechnung [mm]f(x)=3x^2-\frac{12}{x^2}+x-2[/mm]
Setzte also alle notwendigen Klammern oder besser noch: nutze den Editor. Klicke mal auf meine Formel:
[mm]f(x)=\bruch{3x^2-12}{x^2+x-2}[/mm]
> Dann haben wir die pq-Formel am Nenner angewand und x1=1
> und x2=-2 rausbekommen. Dann h-Methode mit 1+h,
Also gesucht: [mm]\lim\limits_{h\to 0}f(x+h)[/mm]
Ok, ich schreibe das nochmal sauber auf:
[mm]f(x)=\frac{3(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+2)}[/mm]
Das [mm]x+2[/mm] kannst du kürzen, so dass an der Stelle [mm]x=-2[/mm] eine hebbare Definitionslücke ist, du kannst dort die Funktion f stetig ergänzen durch die Festlegung [mm]f(-2)=\lim\limits_{h\to 0}f(-2+h)=\ldots[/mm]
Das habt ihr bestimmt ausgerechnet ...
An der Stelle [mm]x=1[/mm] ergibt sich mit [mm]f(x)=\frac{3(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+2)}[/mm]:
[mm]\lim\limits_{h\to 0}f(\red{1+h})=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3(\red{1+h}-2)(\red{1+h}+2)}{(\red{1+h}-1)(\red{1+h}+2)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3(h-1)}{h}[/mm] , den letzten Faktor in Zähler und Nenner kannst du ja kürzen ...
> sodass ich
> als letze Etappe
> lim h->0 3(h+2-9/h) / h+3 habe.
Das kann ich nun nicht mehr lesen ...
> Dann soll der nächste
> Schritt
> 3(0+2-unednlich)/3 Warum -unednlich wenn h gegen 0 geht ?
> Als Endergebniss hat der Lehrer uns dann angegeben :
> lim x->1+ f(x)= -unendlich . ?? warum x->1hoch+ (1hoch+
> soll die Polstelle sein)
Das bedeutet, dass man den rechtsseitigen Limes anschaut, also
[mm]\lim\limits_{h\to 0, h>0}f(1+h)[/mm] betrachtet.
Du pirscht dich von "rechts aus" an die 1 heran mit den (1+h)-Werten
Das wird auch [mm]\lim\limits_{h\to 0^+}f(1+h)[/mm] genannt bzw. [mm]\lim\limits_{h\downarrow 0}f(1+h)[/mm]
Entsprechend bezeichnet man den linksseitigen Limes mit [mm]\lim\limits_{h\to 0^-}f(1+h)[/mm] oder [mm]\lim\limits_{h\uparrow 0}f(1+h)[/mm]
> und warum am ende nur noch
> -unendlich?
Nun, weil [mm]\frac{3(h-1)}{h}[/mm] für [mm]h\to 0^+[/mm] (also von oben kommend) gegen [mm]-\infty[/mm] "abhaut"
Setze mal gaaaaanz kleines h>0 ein, sagen wir [mm]h=0.0001[/mm] und rechne mal mit dem TR [mm]\frac{3(0,0001-1)}{0,0001}[/mm] aus ...
Wie sieht es mit dem anderen, also dem linksseitigen Limes aus?
Da setze mal ein h gaaaaaaaaaanz knapp kleiner als 0 ein, etwa $h=-0,0001$ ...
> Was passiert mit den anderen Zahlen ?
Mit welchen anderen Zahlen?
> oh da hab ich mal wieder geplaudert ;)
> Danke schon mal für voraussichtliche Hilfe :D
> Lg Meryy
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 11.08.2012 | | Autor: | Meryy |
Danke für deine Antwort :D
Deine Vorgehensweise mit dem vereinfachen ist prima, wir haben nämlich in der schule einafch anstat dem x 1+h eingesezt. Ich hab mal meinen Rechenweg eingescannt. (wo ist genau dieser Formeleditor, weil hier unter dem Text kann ich ja nichtseingeben , falls ich mich grad sehr dumm anstelle tuts mir leid ^^ )
Also jedenfalls, an der einen Stele ist mir immernoch nicht etwas klar, trotz deiner wirklich gelungen Antwort
Nun, weil $ [mm] \frac{3(h-1)}{h} [/mm] $ für $ [mm] h\to [/mm] 0^+ $ (also von oben kommend) gegen $ [mm] -\infty [/mm] $ "abhaut"
Mit der Einsetzung von 0,0001 wird das ja klar (danke) , aber gibt es da keine genau Rechnung ? Also ich meine von $ [mm] \frac{3(h-1)}{h} [/mm] $ auf Ergebnis $ [mm] -\infty [/mm] $ zu kommen. Was passiert mit der 3 ?
LG aus der Hauptstadt und danke für die investierte Zeit :D
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