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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert für [mm] x\rightarrow-\infty [/mm] und [mm] x\rightarrow+\infty [/mm] für folgende Funktionen. |
Hallo,
Rechne ich eigentlich Grenzwerte von Funktionen genauso aus wie Grenzwerte von Folgen (in Bezug auf Grenzwertsätze usw.)?
Aufgabe a)
f(x)= [mm] \bruch{2x^{2}}{x^{2}+1}=\bruch{2}{1+\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
[mm]x\rightarrow+\infty[/mm] [mm] \bruch{2}{1+0}=2
[/mm]
[mm]x\rightarrow-\infty[/mm] [mm] \bruch{2}{1-0}=2
[/mm]
Ist die Vorzeichenänderung im Nenner der einzige Unterschied den man hierbei beachten muss?
Aufgabe b)
[mm] f(x)=\bruch{x^{3}}{3x^{2}-2x^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{3}{x}-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-2+\bruch{3}{x}}
[/mm]
[mm]x\rightarrow+\infty[/mm] [mm] \bruch{1}{-2+0}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm]x\rightarrow-\infty[/mm] [mm] \bruch{1}{-2-0}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Aufgabe c)
f(x)= [mm] \bruch{2x}{2^{x+1}+2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1^{x+1}+1}
[/mm]
und hier hänge ich. Wie definiere ich [mm] (1^{x+1}+1) [/mm] ? [mm] 1^{\infty} [/mm] ist schließlich nicht definiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Fr 29.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Bestimmen Sie den Grenzwert für [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] und
> [mm]x\rightarrow+\infty[/mm] für folgende Funktionen.
>
> Hallo,
>
> Rechne ich eigentlich Grenzwerte von Funktionen genauso aus
> wie Grenzwerte von Folgen (in Bezug auf Grenzwertsätze
> usw.)?
Erst einmal ja.
>
> Aufgabe a)
>
> f(x)=
> [mm]\bruch{2x^{2}}{x^{2}+1}=\bruch{2}{1+\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow+\infty[/mm] [mm]\bruch{2}{1+0}=2[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] [mm]\bruch{2}{1-0}=2[/mm]
>
> Ist die Vorzeichenänderung im Nenner der einzige
> Unterschied den man hierbei beachten muss?
ja, und Du hat Dir natürlich $x [mm] \ne [/mm] 0$ eingehandelt, was aber nicht stört.
>
>
> Aufgabe b)
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^{3}}{3x^{2}-2x^{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{3}{x}-2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-2+\bruch{3}{x}}[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow+\infty[/mm] [mm]\bruch{1}{-2+0}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] [mm]\bruch{1}{-2-0}=-\bruch{1}{2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aufgabe c)
>
> f(x)= [mm]\bruch{2x}{2^{x+1}+2}[/mm] = [mm]\bruch{x}{1^{x+1}+1}[/mm]
Schau Deine Rechnung noch einmal nach. [mm] $2^n [/mm] : 2 =$ ?
> und hier hänge ich. Wie definiere ich [mm](1^{x+1}+1)[/mm] ?
> [mm]1^{\infty}[/mm] ist schließlich nicht definiert.
Was ist überhaupt für eine Operation mit [mm] $\infty$ [/mm] definiert? Du schaust doch immer nur, was passiert, wenn x über alle Grenzen wächst.
>
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Tatsächlich, die Potenzregeln wollen auch angewandt werden.
ich habe dann [mm] \bruch{x}{2^{x}+1}, [/mm] wir haben nun den fall dass [mm] \bruch{\infty}{\infty}. [/mm] Daher muss die Regel von l'Hospital angewendet werden, demnach gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \bruch{f_{1}'(x)}{f_{2}'(x)} [/mm] und es käme heraus = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das so richtig?
Wie mache ich das denn aber mit [mm] -\infty? [/mm] Kommt da dann - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] heraus?
Warum sagt man nicht einfach [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] = kein Grenzwert da nicht definiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Fr 29.06.2012 | | Autor: | abakus |
> Tatsächlich, die Potenzregeln wollen auch angewandt
> werden.
>
> ich habe dann [mm]\bruch{x}{2^{x}+1},[/mm] wir haben nun den fall
> dass [mm]\bruch{\infty}{\infty}.[/mm] Daher muss die Regel von
> l'Hospital angewendet werden, demnach gilt
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{f_{1}'(x)}{f_{2}'(x)}[/mm] und es käme heraus =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein, bei der Nennerfunktion hast du dich gründlich vertan.
Leite [mm] $2^x+1$ [/mm] richtig ab und lasse die Ableitungsfunktion gegen unendlich gehen.
Gruß Abakus
>
> Wie mache ich das denn aber mit [mm]-\infty?[/mm] Kommt da dann -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] heraus?
>
> Warum sagt man nicht einfach [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = kein
> Grenzwert da nicht definiert?
>
>
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[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2^{x}+1} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{x}*ln2}
[/mm]
Ist das nun richtig abgeleitet? Diese Ableitung hilft mir aber auch nicht weiter. 1 geteilt durch unendlich = 0 ?
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Hallo,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{2^{x}+1}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{x}*ln2}[/mm]
>
> Ist das nun richtig abgeleitet?
Es ist richtig (deine Frage bezieht sich ja auf die Ableitung des Nenners)
> Diese Ableitung hilft mir
> aber auch nicht weiter.
Doch, das tut sie:
> 1 geteilt durch unendlich = 0 ?
Und hier hast du dir selbst beantwortet, weshalb. 
Gruß, Diophant
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Und wie verhält es sich für [mm] x\rightarrow-\infty?
[/mm]
[mm] 2^{-\infty} [/mm] kann man doch auch schreiben [mm] \bruch{1}{2^{\infty}}.
[/mm]
Dann bekomme ich für den gesamten Bruch [mm] \bruch{1}{\bruch{ln2}{2^{\infty}}} [/mm] was wiederum 1 geteilt durch 0 wäre und das geht ja nicht!?
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Hallo,
> Und wie verhält es sich für [mm]x\rightarrow-\infty?[/mm]
>
> [mm]2^{-\infty}[/mm] kann man doch auch schreiben
> [mm]\bruch{1}{2^{\infty}}.[/mm]
>
> Dann bekomme ich für den gesamten Bruch
> [mm]\bruch{1}{\bruch{ln2}{2^{\infty}}}[/mm] was wiederum 1 geteilt
> durch 0 wäre und das geht ja nicht!?
stop, stop! Die [mm] 2^x [/mm] streben dann gegen Null, das ist richtig (und der Nenner damit gegen 1). Und damit sind die Voraussetzungen für die Anwendung der l'Hospitalschen Regel nicht gegeben. Man braucht sie aber hier auch nicht, denn das Ergebnis folgt doch unmittelbar!
Gruß, Diophant
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Achso, ja die Voraussetzungen. Ich lasse dann ohne die Hospital anzuwenden x einfach gegen [mm] -\infty [/mm] streben für [mm] \bruch{x}{2^{x}+1} [/mm] und bekomme im Gesamtbruch [mm] \bruch{-\infty}{1} [/mm] = [mm] -\infty [/mm] ?
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Hallo,
> Achso, ja die Voraussetzungen. Ich lasse dann ohne die
> Hospital anzuwenden x einfach gegen [mm]-\infty[/mm] streben für
> [mm]\bruch{x}{2^{x}+1}[/mm] und bekomme im Gesamtbruch
> [mm]\bruch{-\infty}{1}[/mm] = [mm]-\infty[/mm] ?
genau so ist es. Man könnte es aber noch schöner aufschreiben.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest sowas wie [mm] \infty/\infty [/mm] gar nicht hinschreiben!
gemeint ist immer ein GW. und dass das nicht so einfach ist hast du an den funktionen in a und b gesehen, bei beiden geht , wenn du es nicht richtig umformst Zähler und nenner gegen unendlich, trotzdem gibt es einen GW, d.h. bei a etwa nähert sich die fkt dem Wert 2 immer näher, sie wird weder undefiniert noch für ein endliches x =2, aber dukönntest einen wert x angeben, so dass sie näher als [mm] 10^{-100} [/mm] an der 2 ist!
in c sollte man eigentlich wissen, dass jede Exponentialfunktion [mm] a^x [/mm] a>1 stärker wächst als alle [mm] x^k [/mm] , k endlich .
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 29.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zua)
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> Aufgabe a)
>
> f(x)=
> [mm]\bruch{2x^{2}}{x^{2}+1}=\bruch{2}{1+\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow+\infty[/mm] [mm]\bruch{2}{1+0}=2[/mm]
>
> [mm]x\rightarrow-\infty[/mm] [mm]\bruch{2}{1-0}=2[/mm]
>
> Ist die Vorzeichenänderung im Nenner der einzige
> Unterschied den man hierbei beachten muss?
Hallo da +0=-0 ist kann ich nicht sagen das ist falsch, aber [mm] 1/x^2 [/mm] hat für alle x negativ oder positiv ein positives vorzeichen, also muß bei x gege [mm] -\inftty [/mm] auch +0 stehen!
wichtig ist das, wenn man das funktionsbild malt in beiden fällen nähert sich die funktion der 2 von unten, (weil der Nenner immer größer 1 ist.
Gruss leduart
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