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Grenzwerte von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Sa 16.12.2006
Autor: belimo

Aufgabe
Berechnen Sie - gegebenenfalls nach elementaren Umformungen - die Grenzwerte folgender Funktionen, falls sie existieren:

b) [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{3x-3}{x^{2}+2x-3} [/mm]

Hallo Leute

Soviel ich weiss, muss ich ja jetzt eine Folge suchen, welche gegen 1 konvergiert, und diese dann für x einsetzen. Richtig?
Das ist schnell gemacht:

[mm] (x_{k}) k\to\infty (1+\bruch{1}{k}) [/mm]

Seite ich nun also [mm] (1+\bruch{1}{k}) [/mm] in meine Funktion ein, so erhalte ich:

[mm] \bruch{3+\bruch{3}{k}-3}{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^{2}}+2+\bruch{2}{k}-3} [/mm]

Aber jetzt, wie weiter? Nach mir, könnte ich ja jetzt alle Brüche "wegstreichen", weil diese ja alle gegen 0 konvergieren, dann hätte ich aber am Schluss: [mm] \bruch{3-3}{1+2-3}, [/mm] was für diese Aufgabe nicht viel Sinn macht ;-)

Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Sa 16.12.2006
Autor: ullim

Hi,

Du kannst die Regel von l'Hospital anwenden oder Du formst den Bruch einfach um in

[mm] \bruch{3x-3}{x^2+2x-3}=\bruch{3(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\bruch{3}{x+3} [/mm]

Jetzt kannst Du den Grenzwert bilden

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Sa 16.12.2006
Autor: belimo

Ach so, das ist also mit "gegebenenfalls nach elementaren Umformungen" gemeint ;-))

Lösung wäre also [mm] \bruch{3}{4}. [/mm] DANKE!

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Sa 16.12.2006
Autor: belimo

Aufgabe
  Berechnen Sie - gegebenenfalls nach elementaren Umformungen - die Grenzwerte folgender Funktionen, falls sie existieren:

c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] h(x), für [mm] h(x)=\begin{cases} 2x-3, & \mbox{für x < 0} \mbox{ } \\ 2x + 5, & \mbox{für x > 0} \mbox{ } \end{cases} [/mm]

Hallo ullim

In der Lösung für diese Aufgabe steht: "Es gibt kein Grenzwert".

Sehe ich das richtig, dass es keinen Grenzwert gibt, weil ein Grenzwert für beide Teilfunktionen gesucht wird? Bzw anders gefragt: Sehe ich das richtig, dass es je einen Grenzwert für beide Teilfunktionen gibt, aber eben keinen gemeinsamen?

Danke für deine Unterstützung!

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Sa 16.12.2006
Autor: ullim

Hi,

im Prinzip hast Du Recht. Der Grenzwert existiert nur dann, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Grenwert identisch ist. In Deinem Beispiel sind die beiden Grenzwerte aber verschieden.

Einmal

[mm] \limes_{x\rightarrow\0}h(x)=-3 [/mm] mit [mm] (x\le0) [/mm] und zum Anderen

[mm] \limes_{x\rightarrow\0}h(x)=5 [/mm] mit [mm] (x\ge0) [/mm]

mfg ullim

Bezug
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