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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:42 Di 30.01.2007 | | Autor: | k3nny |
| Aufgabe | Definiere für jedes a aus [mm] \IR, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0, die Distributionen ua, va, wa aus [mm] S'(\IR) [/mm] wie folgt:
(ua, [mm] \alpha) [/mm] := [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{sin(a*x)*\alpha(x) dx}
[/mm]
(va, [mm] \alpha) [/mm] := [mm] \integral_{a-1}^{a+1}{\alpha(x) dx}
[/mm]
(wa, [mm] \alpha):= a*(\alpha(-\bruch{1}{2a})-\alpha(\bruch{1}{2a}))
[/mm]
Zeige
1. [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ua = 0 aus [mm] S'(\IR)
[/mm]
2. [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] va = 0 aus [mm] S'(\IR)
[/mm]
3. [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] wa = [mm] \delta_{0}' [/mm] aus [mm] S'(\IR) [/mm] |
Hi zusammen
ich hab mal wieder ein paar Fragen zu der Aufgabe oben!
Meine Lösung zur 1. lautet wie folgt
Mit [mm] [/mm] = - [mm] [/mm] folgt
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{sin(a*x)*\alpha(x)dx} [/mm] = - [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{-\bruch{1}{a}*cos(a*x)*\alpha(x)'dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a} [/mm] ist konstant und kann vor das Integral gezogen werden, so dass wenn a ggn Unendlich läuft [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = 0 wird und somit [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ua = 0 aus [mm] S'(\IR) [/mm] bewiesen wäre... Stimmt das so?
Meine Idee zu 2. lautet wie folge
[mm] \integral_{a-1}^{a+1}{\alpha(x) dx} [/mm] hat für [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] die selben Integralgrenzen und ist somit = 0 womit es schon bewiesen ist, das [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] va = 0 aus [mm] S'(\IR)
[/mm]
Naja und zur 3 fällt mir irgendwie nur wenig ein ausser, dass man den Term [mm] a*(\alpha(-\bruch{1}{2a})-\alpha(\bruch{1}{2a})) [/mm] noch irgendwie umschreiben muss, so dass leichter ersichtlich ist, dass sich bei [mm] a*(\alpha(-\bruch{1}{2a})-\alpha(\bruch{1}{2a})) [/mm] für [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] die Ableitung der Delta Distribution ergibt. Alternativ könnte man den Ausdruck ja schreiben als [mm] a*\integral_{(1/2a}^{-1/2a}{\alpha(x)' dx} [/mm] oder? Nur wie bekomm ich jetzt die Beziehung zur Delta Distribution bzw deren Ableitung?
Wäre sehr nett wenn da mal wer drübergucken könnte und mir ein paar Tips gibt bzw mich in Richtung Lösung schubst ;) Danke im Vorraus schonmal
k3nny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 04.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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