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Grenzwerte vertauschen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:37 Mi 01.07.2009
Autor: Doemmi

Aufgabe
Es sei (X,d) ein metrischer Raum, D [mm] \subset [/mm] X und [mm] f_{n} [/mm] : D [mm] \to \IR, [/mm] so dass ( [mm] f_{n} [/mm] ) gleichmäßig gegen f konvergiert. Es sei weiterhin [mm] x_{0} [/mm] ein Häufungspunkt von D und es gelte für jedes n [mm] \in \IN: [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} f_{n}(x) [/mm] =: [mm] y_{n}. [/mm]

Zeigen Sie, dass dann ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] konvergiert und

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm]  = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{x\rightarrow x_{0}} f_{n}(x) [/mm]

gilt, dass man also beide Grenzwerte vertauschen darf. Zeigen Sie weiterhin, dass auf gleichmäßige Konvergenz nicht verzichtet werden kann.

Ich habe lediglich einen Ansatz, wie man diese Aufgabe lösen kann, jedoch kann ich diese nicht ausführen.

Da [mm] (f_{n}) [/mm] konvergiert, ist diese Folge insbesondere eine Cauchyfolge. Wenn ich nun zeigen kann, dass ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] ebenfalls eine Cauchyfolge ist, ist gezeigt, dass auch diese konvergiert.

Sei dann der Grenzwert von ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] zum Beispiel y.
Dann kann ich die Gleichung nach Definition umschreiben, so dass am Ende noch da steht:

[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f (x) = y

Das wäre dann also noch zu beweisen. Wie?

Warum kann ich nicht auf die gleichmäßige Konvergenz verzichten?

Vielen Dank!

        
Bezug
Grenzwerte vertauschen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Fr 03.07.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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