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| Aufgabe | Gegeben sind die Folgen
a) [mm]a_{1} := 3, \qquad a_{n+1} := 1 + a_{n} - \bruch{3}{a_{n}} \qquad (n\in\IN, n \neq 0)[/mm]
b) [mm]b_{n} := \bruch{3n}{n^2+7} \qquad (n\in\IN)[/mm]
c) [mm]c_{n} := (-1)^n + \bruch{1}{n} \qquad (n\in\IN, n\neq0)[/mm]
Zeigen Sie: Die Folge [mm](a_{n})[/mm] hat den Grenzwert 3, die Folge [mm](b_{n})[/mm] hat den Grenzwert 0 und die Folge [mm](c_{n})[/mm] konvergiert nicht. |
Hallo Gemeinde,
bei Teil a) komme ich derzeit überhaupt nicht weiter (meine Ansätze findet Ihr unten) – zu den anderen Aufgabenteilen habe ich Ergebnisse, die ich Euch bitte zu überprüfen.
a)
Erst einmal forme ich ein bisschen um:
[mm]a_{n+1} := 1 + a_{n} - \bruch{3}{a_{n}} = \bruch{a_{n} + {a_{n}}^2 - 3}{a_{n}}[/mm]
Zähler und Nenner einzeln betrachtet konvergieren nun offensichtlich nicht. Also forme ich noch ein bisschen weiter um (ich hebe die höchste Potenz des gesamten Bruchs aus Zähler und Nenner heraus):
[mm]\bruch{a_{n} + {a_{n}}^2 - 3}{a_{n}} =\bruch{\bruch{1}{a_{n}} + 1 - \bruch{3}{{a_{n}}^2}}{\bruch{1}{a_{n}}}[/mm]
Nun konvergiert der Term immerhin schon. Allerdings sehe ich nicht, warum er gegen 3 konvergiert sollte. Bin ich da auf der völlig falschen Spur oder schaffe ich es einfach nicht zum nächsten Schritt?
b)
[mm]b_{n} = \bruch{3n}{n^2+7} = \bruch{n^2(\bruch{3}{n})}{n^2(1+\bruch{7}{n^2})} = \bruch{\bruch{3}{n}}{1+\bruch{7}{n^2}} = \bruch{0}{1} = 0[/mm]
Die Einzelbeweise:
sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
[mm]\varepsilon > \bruch{3}{n} \qquad | * n[/mm]
[mm]\varepsilon * n > 3 \qquad | : \varepsilon[/mm]
[mm]n > \bruch{3}{\varepsilon}[/mm]
[mm]\square[/mm]
sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
[mm]\varepsilon > \bruch{7}{n^2} \qquad | * n^2[/mm]
[mm]\epsilon * n^2 > 7 \qquad | : \varepsilon[/mm]
[mm]n^2 > \bruch{7}{\varepsilon}[/mm]
[mm]\square[/mm]
c)
[mm](-1)^n[/mm] hat für [mm]a_{2n}[/mm] den Grenzwert 1, für [mm]a_{2n+1}[/mm] den Grenzwert -1. 2 verschiedene Grenzwerte stehen im Gegensatz zur Definition der Konvergenz, dass es genau einen Grenzwert gibt.
Daher konvergiert die Folge [mm](c_{n})[/mm] nicht. [mm]\square[/mm]
Frage: Das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0[/mm] muss ich in meiner Beweisführung gar nicht erwähnen, da es für das Endergebnis uninteressant ist – richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 So 28.10.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sind die Folgen
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> a) [mm]a_{1} := 3, \qquad a_{n+1} := 1 + a_{n} - \bruch{3}{a_{n}} \qquad (n\in\IN, n \neq 0)[/mm]
>
> b) [mm]b_{n} := \bruch{3n}{n^2+7} \qquad (n\in\IN)[/mm]
>
> c) [mm]c_{n} := (-1)^n + \bruch{1}{n} \qquad (n\in\IN, n\neq0)[/mm]
>
> Zeigen Sie: Die Folge [mm](a_{n})[/mm] hat den Grenzwert 3, die
> Folge [mm](b_{n})[/mm] hat den Grenzwert 0 und die Folge [mm](c_{n})[/mm]
> konvergiert nicht.
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>
> Hallo Gemeinde,
>
> bei Teil a) komme ich derzeit überhaupt nicht weiter
> (meine Ansätze findet Ihr unten) – zu den anderen
> Aufgabenteilen habe ich Ergebnisse, die ich Euch bitte zu
> überprüfen.
>
>
>
> a)
>
> Erst einmal forme ich ein bisschen um:
>
> [mm]a_{n+1} := 1 + a_{n} - \bruch{3}{a_{n}} = \bruch{a_{n} + {a_{n}}^2 - 3}{a_{n}}[/mm]
>
> Zähler und Nenner einzeln betrachtet konvergieren nun
> offensichtlich nicht. Also forme ich noch ein bisschen
> weiter um (ich hebe die höchste Potenz des gesamten Bruchs
> aus Zähler und Nenner heraus):
>
> [mm]\bruch{a_{n} + {a_{n}}^2 - 3}{a_{n}} =\bruch{\bruch{1}{a_{n}} + 1 - \bruch{3}{{a_{n}}^2}}{\bruch{1}{a_{n}}}[/mm]
>
> Nun konvergiert der Term immerhin schon. Allerdings sehe
> ich nicht, warum er gegen 3 konvergiert sollte. Bin ich da
> auf der völlig falschen Spur oder schaffe ich es einfach
> nicht zum nächsten Schritt?
Schreib doch mal [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $a_5$ [/mm] konkret ausgerechnet als Zahlen hin.
Vielleicht fällt dir dann, bei der Berechnungsvorschrift etwas auf.
>
>
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> b)
>
> [mm]b_{n} = \bruch{3n}{n^2+7} = \bruch{n^2(\bruch{3}{n})}{n^2(1+\bruch{7}{n^2})} = \bruch{\bruch{3}{n}}{1+\bruch{7}{n^2}} = \bruch{0}{1} = 0[/mm]
>
>
> Die Einzelbeweise:
>
> sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
>
> [mm]\varepsilon > \bruch{3}{n} \qquad | * n[/mm]
>
> [mm]\varepsilon * n > 3 \qquad | : \varepsilon[/mm]
>
> [mm]n > \bruch{3}{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]\square[/mm]
>
>
> sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
>
> [mm]\varepsilon > \bruch{7}{n^2} \qquad | * n^2[/mm]
>
> [mm]\epsilon * n^2 > 7 \qquad | : \varepsilon[/mm]
>
> [mm]n^2 > \bruch{7}{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]\square[/mm]
>
>
>
> c)
>
> [mm](-n)^2[/mm] hat für [mm]a_{2n}[/mm] den Grenzwert 1, für [mm]a_{2n+1}[/mm] den
> Grenzwert -1. 2 verschiedene Grenzwerte stehen im Gegensatz
> zur Definition der Konvergenz, dass es genau einen
> Grenzwert gibt.
Das soll wohl [mm] $(-1)^n$ [/mm] heißen.
>
> Daher konvergiert die Folge [mm](c_{n})[/mm] nicht. [mm]\square[/mm]
>
> Frage: Das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0[/mm]
> muss ich in meiner Beweisführung gar nicht erwähnen, da
> es für das Endergebnis uninteressant ist – richtig?
Wäre schon besser zu erwähnen, denn besonders dumm wäre es, wenn
[mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] für 2n den Grenzwert -1 und für 2n+1 den Grenzwert 1 hätte.
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 28.10.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo meili,
> > c)
> >
> > [mm](-n)^2[/mm] hat für [mm]a_{2n}[/mm] den Grenzwert 1, für [mm]a_{2n+1}[/mm] den
> > Grenzwert -1. 2 verschiedene Grenzwerte stehen im Gegensatz
> > zur Definition der Konvergenz, dass es genau einen
> > Grenzwert gibt.
> Das soll wohl [mm](-1)^n[/mm] heißen.
Ups, das stimmt natürlich. Da bin ich wohl in der Aufgabe verrutscht. Ich hab's im urpsrünglichen Beitrag korrigiert.
> >
> > Daher konvergiert die Folge [mm](c_{n})[/mm] nicht. [mm]\square[/mm]
> >
> > Frage: Das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} = 0[/mm]
> > muss ich in meiner Beweisführung gar nicht erwähnen, da
> > es für das Endergebnis uninteressant ist – richtig?
> Wäre schon besser zu erwähnen, denn besonders dumm wäre
> es, wenn
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für 2n den Grenzwert -1 und für 2n+1 den
> Grenzwert 1 hätte.
Okay, das klingt einleuchtend.
Danke!
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Hallo,
wenn ich das richtig sehe, fehlt noch eine Antwort zu (b)
> b) [mm]b_{n} := \bruch{3n}{n^2+7} \qquad (n\in\IN)[/mm]
> Zeigen Sie: Die Folge [mm](b_{n})[/mm] hat den Grenzwert 0
>
>
>
> b)
>
> [mm]b_{n} = \bruch{3n}{n^2+7} = \bruch{n^2(\bruch{3}{n})}{n^2(1+\bruch{7}{n^2})} = \bruch{\bruch{3}{n}}{1+\bruch{7}{n^2}} \red{=} \bruch{0}{1} = 0[/mm]
Da muss doch [mm]\red{\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}}[/mm] stehen
Ansonsten richtig!
Wieso reicht dir das als Nachweis nicht?
Es gibt doch extra die Grenzwertsätze, damit man nicht immer mit dem [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium herumwurschteln muss. M.E. bist du hier fertig
>
>
> Die Einzelbeweise:
>
> sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
>
> [mm]\varepsilon > \bruch{3}{n} \qquad | * n[/mm]
>
> [mm]\varepsilon * n > 3 \qquad | : \varepsilon[/mm]
>
> [mm]n > \bruch{3}{\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]\square[/mm]
>
Das ist zwar richtig, aber ganz furchtbar aufgeschrieben.
Wenn du das über das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium machst, solltest du das auch formal schön hinschreiben und vor allem nicht die Abschätzung von [mm]|b_n-0|[/mm] komplett weglassen.
Das kann allenfalls eine Nebenrechnung auf dem Schmierzettel sein, mit der du das geforderte [mm]n(\varepsilon)[/mm] aus der Definition zusammenbastelst ...
Aber nun korrekt aufschreiben:
Sei [mm]\varepsilon>0[/mm], wähle [mm]n(\varepsilon):=...[/mm], dann gilt für alle [mm]n\ge n_(\varepsilon): |b_n-0|=|---|\le|---|....<\varepsilon[/mm]
Gruß
schachuzipus
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