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| Aufgabe | Berechne folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\+0}\bruch{\sin(x)+x}{\sin(x)}
[/mm]
b) $ [mm] \limes_{x\rightarrow\\+infty} \bruch{\sin^2\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] $ |
Hallo Leute,
ich habe hier ein kleines Problem mit ein paar Aufgaben gleicher Art.
Also bei a) kann ich eigentlich noch alles und bin mir auch recht sicher, dass das richtig ist. Ich habe da folgendes gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\+0}\bruch{\sin(x)+x}{\sin(x)}
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\+0}\bruch{\cos(x)+1}{\cos(x)} [/mm] $
= [mm] \bruch{2}{1} [/mm] = 2
Aber bei der Aufgabe b) habe ich gar keine Ahnung wie ich da vorgehen soll. Mein erstes Problem: Was ist [mm] \sin^2 [/mm]
Mein zweites Problem: Wie erkenne ich, ob ich überhaupt nach l'hospital weiterrechnen muss. Bei der ersten rechnung setze ich ja 0 ein, und wenn [mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommt muss ich auf jeden fall weiter machen. aber was setze ich bei unendlich ein? Einfach eine große zahl, also zb 1000, oder wie muss ich vorgehen.
Ich habe noch von beiden Aufgaben einige mehr auf, aber ich denke, wenn ich das Prinzip verstanden hab, müsste ich den rest auch alleine können.
Also, ich wäre euch sehr dankbar wenn ich mir das ausführlich erklären könntet, bzw. vorrechnen könntet.
LG TryingHard
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| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert von
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^n\cdot{}{\sin\bruch{1}{x^n}}$ [/mm]
[mm] (n\in\IN) [/mm] |
Hallo,
falls die Bestimmung des Grenzwertes der Funktion aus der ersten Frage nicht möglich ist, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand das Vorgehen anhand dieser Funktion erklären könnte.
Vielen Dank schon jetzt.
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 07.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi nochmal,
> Bestimme den Grenzwert von
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x^n\cdot{}{\sin\bruch{1}{x^n}}[/mm]
>
> [mm](n\in\IN)[/mm]
Für [mm] x\to\infty [/mm] geht, [mm] x^n\to\infty [/mm] und [mm]\sin(\bruch{1}{x^n})\to 0 [/mm].
Das müsste dir inzwischen klar sein (falls nicht, nochmal fragenoder besser erstmal hier kucken).
Du hast etwas von der Form [mm] "0*\infty", [/mm] dass kann man "umschreiben" zu " [mm]\bruch{1}{\infty}*\infty=\bruch{\infty}{\infty}[/mm]". Ich schreibe alles in Gänsefüsschen,weil man so natürlich nicht mit Null und Unendlich rechnen kann. Das soll uns nur veranschaulichen, dass wir wieder einen Fall für L'hospital haben. Also unserer L'Hospital-Kandidaten sind:
[mm] "\bruch{0}{0}"
[/mm]
[mm] "\bruch{\infty}{\infty}"
[/mm]
[mm] "0*\infty"
[/mm]
In so einem Fall einfach wie du es kennst verfahren. Die Terme einzeln ableiten und neu untersuchen.
Siehst du jetzt etwas klarer? 
L G walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Di 07.11.2006 | | Autor: | TryingHard |
Dankeschön!
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 07.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi tryinghard,
zunächst mal : [mm] \sin^2(x)= (\sin(x))^2=\sin(x)*\sin(x)
[/mm]
zur b)
Überlege zunächst was mit [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] passiert für [mm] x\to\infty. [/mm] Im Nenner steht praktisch eine sehr grosse Zahl, also ist [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] sehr klein, geht also gegen 0.
Was passiert mit [mm] \sin [/mm] in der Nähe von 0? Geht auch gegen 0, dann also auch [mm] \sin^2
[/mm]
Du hast also wieder etwas von der Form [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] und hast einen Fall für l'Hospital. L'Hospital würdest du übrigens auch benutzen,wenn du etwas von der Form [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] hättest, z.b bei [mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{\ln(x)}{x^2}
[/mm]
L G walde
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