Grenzwerte mit l'hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Xotac |
| Aufgabe | | [mm] lim_{x->\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{ln(x)}{x^{k}} [/mm] k > 0. |
Hallo :)
ich muss folgende Aufgabe lösen :
[mm] lim_{x->\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{ln(x)}{x^{k}} [/mm] k > 0.
Dies geht nur mittels l'hospital.
Meine Überlegung war, das der Nenner ( [mm] x^{k} [/mm] ) erst in der k-ten Ableitung nicht mehr Unentlich ist, dort ist er dann nämlich k! .
Ist das soweit richtig ?
Dann müsste ich ja nur die k-te Ableitung von ln(x) ausrechnen.
Doch da hänge ich zZ fest.
die erste Ableitung ist 1/x , daraus schließe ich, das die k-te Ableitung unter dem Bruchstrich schonmal [mm] x^k [/mm] sein muss. Doch was passiert mit dem Nenner ? Er wechselt das Vorzeichen, also muss schon [mm] -1^k+1 [/mm] sein oder ?
Doch wie nun weiter ? Der Nenner wird ja auch immer größer, wie schreibe ich das auf ?
|
|
| |
|
Hallo Xotac,
> [mm]lim_{x->\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{ln(x)}{x^{k}}[/mm] k > 0.
> Hallo :)
>
> ich muss folgende Aufgabe lösen :
>
> [mm]lim_{x->\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{ln(x)}{x^{k}}[/mm] k > 0.
>
> Dies geht nur mittels l'hospital.
Wieso sollte das nicht anders gehen?
>
> Meine Überlegung war, das der Nenner ( [mm]x^{k}[/mm] ) erst in der
> k-ten Ableitung nicht mehr Unentlich
unendlich !!
> ist, dort ist er dann
> nämlich k! .
>
> Ist das soweit richtig ?
Jo, du meinst das Richtige.
>
>
> Dann müsste ich ja nur die k-te Ableitung von ln(x)
> ausrechnen.
> Doch da hänge ich zZ fest.
>
>
>
> die erste Ableitung ist 1/x , daraus schließe ich, das die
> k-te Ableitung unter dem Bruchstrich schonmal [mm]x^k[/mm] sein
> muss. Doch was passiert mit dem Nenner ? Er wechselt das
> Vorzeichen, also muss schon [mm]-1^k+1[/mm] sein oder ?
>
> Doch wie nun weiter ? Der Nenner wird ja auch immer
> größer, wie schreibe ich das auf ?
Reicht denn eine Anwendung der Regel von de l'Hôpital nicht aus?
Es ist doch [mm]\frac{\left[\ln(x)\right]'}{\left[x^k\right]'}=\frac{1/x}{kx^{k-1}}=\frac{1}{kx^k}[/mm]
Was passiert hier nun für [mm]x\to\infty[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
