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| Aufgabe | Bestimme die Grenzwerte der (evtl. bestimmt divergenten) Folgen!
a) [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{n}}{n!}$
[/mm]
b) [mm] $b_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{(n!)}}{(n!)^{n}}$ [/mm] |
Hallo!
Ich wollte zunächst fragen, ob es für solche Terme mit Fakultäten n! und Potenzen [mm] n^{n} [/mm] irgendwelche "Standardvorgehen" gibt.
Bei a) gelingt mir ein Beweis noch relativ einfach, es ist ja für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm]a_{n} = \frac{n^{n}}{n!} = \frac{n*...*n*n}{n*...*2*1} \ge n[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] (a_{n}) [/mm] bestimmt divergent gegen unendlich ist.
Bei der zweiten:
[mm]b_{n} = \frac{n^{(n!)}}{(n!)^{n}} = \frac{n^{n!-n}}{((n-1)!)^{n}} \ge \frac{n^{n!-2*n}}{((n-2)!)^{n}} \ge ... \ge \frac{n^{n!-(n-2)*n}}{2^{n}} \ge \frac{n^{n!-(n-1)*n}}{1^{n}} = n^{(n-1)*n*((n-2)!-1)} \to \infty[/mm]
Kann man das so machen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
ja, das kann man so machen.
Für b) ist vielleicht noch einfacher zu zeigen, dass im Zähler n! Faktoren der Größe n stehen, im Zähler aber nur n(n-1) Faktoren, alle [mm] \le{n}. [/mm] Dabei habe ich die Einsen nicht mitgezählt.
Dein Weg ist aber auch schick, nur nicht unmittelbar nachzuvollziehen. Vielleicht solltest Du am Anfang einen Ungleichungsschritt mehr zeigen. Es nicht auf Anhieb zu sehen, dass Du im ersten ausgelassenen Schritt einfach [mm] \left(\bruch{n}{n-1}\right)^n>1 [/mm] streichst.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich danke dir für deine Antwort!
Das mit dem fehlenden Schritt werde ich ausbessern.
Grüße,
Stefan
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