Grenzwerte in mehreren Variabl < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 24.05.2007 | | Autor: | Chippie |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} [/mm] (X²+y²+1),
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{xy}{\wurzel{x²+y²}},
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{xy}{x²+y²},
[/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ (0,0)} \bruch{x²y}{x²+y²}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, indem ich x und y in Polarkoordinaten definiert habe:
x:= r [mm] sin\beta
[/mm]
y:= r [mm] cos\beta
[/mm]
und r habe ich dann gegen 0 laufen lassen.
Demnach sehen die Sachen dann so aus:
[mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} [/mm] (r² [mm] sin²\beta [/mm] + r² [mm] cos²\beta [/mm] + 1) = 1
[mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} \bruch{r² sin\beta cos\beta}{\wurzel{r²(sin²\beta + cos²\beta)}} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} [/mm] r [mm] sin\beta [/mm] cos [mm] \beta [/mm] = 0
[mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} \bruch{r² sin\beta cos\beta}{r²(sin²\beta + cos²\beta)} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} sin\beta cos\beta [/mm] = [mm] sin\beta cos\beta
[/mm]
[mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} \bruch{r³ sin²\beta cos\beta}{r²(sin²\beta + cos²\beta)} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow\ 0} [/mm] r [mm] sin²\beta cos\beta [/mm] = 0
Dabei habe ich dann nur zusammengefasst und den trigonometrischen Pythagoras angewandt.
Theoretisch sieht das ja alles ganz gut aus, aber ich bin mir eben nicht so sicher, ob das richtig ist. Und den Limes im dritten Fall kann ich auch nicht so richtig deuten. Jedoch interpretiere ich ihn so, dass er nicht existiert, da Cosinus und Sinus nicht konvergent sind, jedoch muss ja das [mm] \beta [/mm] auch irgendwo hinlaufen. Da weiß ich also nicht so recht weiter...
Gruß, Chippie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig, bei 3 bedeutet das, dass jenachdem in welcher Richtung du auf Geraden nach 0,0 läufst du verschieden Werte kriegst. wenn du also auf der x- Achse d,h, y=0 läufst [mm] \beta=0 [/mm] ist der GW0 wenn du unter 45° also x=y läufst ist der GW 1/2 usw.d.h. der GW existert nicht!
Gruss leduart
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