Grenzwerte bestimmter Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Fr 20.03.2009 | | Autor: | babo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mittels des Quotientenkriteriums die Konvergenz und ermitteln Sie die Grenzwerte.
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k}+1}{k!}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{4^{k}}{3^{k}*k!} [/mm] |
Hallo,
ich hänge an dieser Aufgabe. Konvergenz bestimmt habe ich.
Jedoch weis ich nicht wie ich die Grenzwerte berechnen soll.
Grenzwerte für konvergente Geometrische Reihen sind ja klar.
Aber wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Könnt ihr bitte auch Lösungsergebnisse zum vergleichen posten?
Danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Fr 20.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie mittels des Quotientenkriteriums die
> Konvergenz und ermitteln Sie die Grenzwerte.
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k}+1}{k!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{4^{k}}{3^{k}*k!}[/mm]
>
> Hallo,
> ich hänge an dieser Aufgabe. Konvergenz bestimmt habe ich.
> Jedoch weis ich nicht wie ich die Grenzwerte berechnen
> soll.
> Grenzwerte für konvergente Geometrische Reihen sind ja
> klar.
> Aber wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
Kennst du die Exponentialreihe? Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} = e^x [/mm].
Nun musst du die drei Reihen auf diese Form bringen.
Dazu zwei Tipps: zerlege die erste Reihe in eine Summe zweier Reihen (das ist erlaubt wegen der absoluten Konvergenz) und beachte, dass nicht alle drei Reihen bei k=0 anfangen!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Fr 20.03.2009 | | Autor: | babo |
Hallo Rainer,
danke für die schnelle Antwort.
ich habe nun folgende Grenzwerte raus:
zu a) [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{2^{k}+1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k!} +\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] e^{2}+e [/mm] = 10,1
zu b) [mm] \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \{ \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!} \} [/mm] - [mm] \bruch{-1^{0}}{0!}-\bruch{-1^{1}}{1!} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] -1-(-1) = [mm] e^{-1}
[/mm]
zu c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!} [/mm] = [mm] \{ \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!} \} [/mm] - [mm] (-1)^{0}\bruch{4^{0}}{3^{0}+0!} [/mm] = [mm] \{ \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!} \} [/mm] - 1 = [mm] \{ \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{-4^{k}}{3^{k}} * \bruch{1^{k}}{k!} \}-1= e^{-\bruch{4}{3}} [/mm] -1
Stimmen die ergebnisse?
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Hallo babo,
> Hallo Rainer,
> danke für die schnelle Antwort.
>
> ich habe nun folgende Grenzwerte raus:
>
> zu a) [mm] $\summe^{\infty}_{\red{k}=0}\bruch{2^{k}+1}{k!}= \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{2^{k}}{k!} +\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}=e^{2}+e$[ok] [/mm] = 10,1
>
> zu b) [mm] $\summe_{i=2}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!}=\{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!} \} [/mm] - [mm] \bruch{-1^{0}}{0!}-\bruch{-1^{1}}{1!}=e^{-1}-1-(-1) =e^{-1}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu c) [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!}= \{ \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!} \}-(-1)^{0}\bruch{4^{0}}{3^{0}+0!}=\{ \summe_{i=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{4^{k}}{3^{k}+k!} \}-1$
[/mm]
[mm] $=\{ \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{-4^{k}}{3^{k}}\cdot{}\bruch{1^{k}}{k!} \}-1= e^{-\bruch{4}{3}}-1$ [/mm]
>
>
> Stimmen die ergebnisse?
Ja, sehr gut! Achte nur bitte auf die Laufindizes, das muss durchweg k sein, nicht i !
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 20.03.2009 | | Autor: | babo |
Danke :)
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