Grenzwerte bestimmen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\downarrow 0}\bruch{log(1+x+x^2)}{x^2} [/mm] |
Hallo,
die Lösung lautet:
Bermerken wir zunächst, dass für x [mm] \to [/mm] 0
[mm] log(1+x+x^2) [/mm] = x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] o(x+x^2) [/mm] = [mm] x+x^2+o(x) [/mm] = x+o(x)
Warum ist [mm] o(x+x^2) [/mm] = o(x) und warum [mm] x^2+o(x) [/mm] = o(x) für x [mm] \to [/mm] 0? Kann man sagen, dass [mm] x^2+o(x) [/mm] = o(x) weil x gegen 0 geht, und somit [mm] x^2 [/mm] ,,verschwindet"?
und daher
[mm] \bruch{log(1+x+x^2)}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{x+o(x)}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1+o(1)}{x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{x\downarrow 0}\bruch{log(1+x+x^2)}{x^2} [/mm] = [mm] \limes_{x\downarrow 0}\bruch{1+o(1)}{x} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 04.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\downarrow 0}\bruch{log(1+x+x^2)}{x^2}[/mm]
> Hallo,
>
> die Lösung lautet:
Die Lösung erscheint mir etwas umständlich.
>
> Bermerken wir zunächst, dass für x [mm]\to[/mm] 0
>
> [mm]log(1+x+x^2)[/mm] = x + [mm]x^2[/mm] + [mm]o(x+x^2)[/mm] = [mm]x+x^2+o(x)[/mm] = x+o(x)
>
> Warum ist [mm]o(x+x^2)[/mm] = o(x) und warum [mm]x^2+o(x)[/mm] = o(x) für x
> [mm]\to[/mm] 0? Kann man sagen, dass [mm]x^2+o(x)[/mm] = o(x) weil x gegen 0
> geht, und somit [mm]x^2[/mm] ,,verschwindet"?
>
> und daher
>
> [mm]\bruch{log(1+x+x^2)}{x^2}[/mm] = [mm]\bruch{x+o(x)}{x^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1+o(1)}{x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\downarrow 0}\bruch{log(1+x+x^2)}{x^2}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\downarrow 0}\bruch{1+o(1)}{x}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
Meine Idee wäre, l'Hospital zu bemühen, das klappt hier, da sowohl der Zaöhler als auch der Nenner für den Grenzwert gegen 0 gehen.
Also, ich nehme mal b als Basis des Logarithmusses, log interpretiere ich also als [mm] \log_b [/mm] mit [mm] \ln [/mm] ist im folgenden der
[mm] $\limes_{x\downarrow 0}\bruch{\log_b(1+x+x^2)}{x^2}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\bruch{\frac{1}{\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}\cdot(2x+1)}{2x}$
[/mm]
Nun umformen:
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\bruch{\frac{2x+1}{\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}}{2x}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\frac{2x+1}{2x\cdot\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\left(\frac{2x}{2x\cdot\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}+\frac{1}{2x\cdot\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\left(\frac{1}{\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}+\frac{1}{2x\cdot\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\downarrow 0}\frac{1}{\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}+\limes_{x\downarrow 0}\frac{1}{2x\cdot\ln(b)\cdot(1+x+x^2)}$
[/mm]
Den ersten Grenzwert kannst du durch einsetzen ermitteln, 0 ist keine Nullstelle des Nenners mehr.
Kommst du damit schonmal weiter?
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
1. Es ist für x [mm] \ne [/mm] 0:
(*) [mm] \bruch{f(x)}{x+x^2}= \bruch{f(x)}{x}* \bruch{1}{1+x}
[/mm]
Wegen [mm] \bruch{1}{1+x} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0, folgt aus (*):
f [mm] \in o(x+x^2) \gdw [/mm] f [mm] \in [/mm] o(x).
2. Ich würde das ohne "Landau" erledigen:
Mit l'Hospital sieht man:
[mm] \bruch{log(1+x+x^2)}{x+x^2} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0.
Somit:
[mm] \bruch{log(1+x+x^2)}{x^2}= \bruch{log(1+x+x^2)}{x+x^2}*(1+1/x) \to \infty [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0.
FRED
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Sorry, ich hatte vergessen zu erwähnen, dass wir Ableitungen noch nicht hatten. Vermutlich lag das aber daran, dass ich nicht wusste, dass man das auch über Ableitungen machen kann.
Wieso funktioniert das denn jetzt so mit den Landau Symbolen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal kurz:
> Sorry, ich hatte vergessen zu erwähnen, dass wir
> Ableitungen noch nicht hatten. Vermutlich lag das aber
> daran, dass ich nicht wusste, dass man das auch über
> Ableitungen machen kann.
>
> Wieso funktioniert das denn jetzt so mit den Landau
> Symbolen?
Du willst eher wissen, WIE das funktioniert, und nicht WIESO, oder? Ich
müsste dafür erstmal wissen, wie ihr $f(x) [mm] \in [/mm] o(g(x))$ (besser: $f [mm] \in o(g)\,$)
[/mm]
für $x [mm] \to x_0$ [/mm] DEFINIERT habt?
(Die UNGÜNSTIGE Notation $f=o(g)$ besagt eigentlich nichts anderes als
$f [mm] \in o(g)\,$ [/mm] - übrigens wird das $x [mm] \to x_0$ [/mm] zwar in der Notation meist nicht
mitgenommen, es ist aber wesentlich: So ist etwa [mm] $x^2 \in o(x^3)$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,,$
[/mm]
aber es ist [mm] $x^2 \notin o(x^3)$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,.$)
[/mm]
Ich nehme nun mal ![[]](/images/popup.gif) diese Definition von Wiki (klick!) her:
D.h. es gilt $f [mm] \in [/mm] o(g)$ für $x [mm] \to x_0$ [/mm] genau dann, wenn
[mm] $$\lim_{x \to x_0} |f(x)/g(x)|=0\,.$$
[/mm]
Eine Deiner Fragen:
> Warum ist [mm] $o(x+x^2)=o(x)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
Warum glaubst Du, dass das gilt und wieso glaubst Du, dass Du dies
brauchst?
Es reicht doch, [mm] $o(x+x^2) \subseteq [/mm] o(x)$ bei $x [mm] \to [/mm] 0$ zu beweisen! Ist
$f [mm] \in o(x+x^2)$ [/mm] bei $x [mm] \to 0\,,$ [/mm] so folgt (ich erspare es mir, ständig $x [mm] \to [/mm] 0$ dazuzuschreiben)
[mm] $$|\tfrac{f(x)}{x+x^2}| \to 0\,.$$
[/mm]
Was gilt dann für
[mm] $$|\tfrac{f(x)}{x}|=|\tfrac{f(x)}{x+x^2}|*|\tfrac{x+x^2}{x}|=|\tfrac{f(x)}{x+x^2}|*|1+x|$$
[/mm]
bei $x [mm] \to [/mm] 0$?
Natürlich kannst Du auch noch $o(x) [mm] \subseteq o(x+x^2)$ [/mm] beweisen, das
brauchst Du aber nicht. Falls Du es dennoch mal tun willst oder gesehen
haben willst:
Für $f [mm] \in [/mm] o(x)$ folgt
$$|f(x)/x| [mm] \to 0\,,$$
[/mm]
Mit
[mm] $$|f(x)/(x+x^2)| \le [/mm] |f(x)/x|$$
für $0 < x [mm] \to [/mm] 0$ folgt schonmal $|f(x)/x| [mm] \to [/mm] 0$ bei $0 < x [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Für $0 > x [mm] \to [/mm] 0$ gilt
[mm] $$|f(x)/(x+x^2)|=|f(x)/x|*|\tfrac{1}{1+x}| \le |f(x)/x|*\tfrac{1}{1-1/2}=2*|f(x)/x|\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $x\,$ [/mm] genügend nahe an [mm] $0\,$ [/mm] ist ($x [mm] \ge -1/2\,.$)
[/mm]
Insgesamt also
[mm] $$\forall [/mm] f [mm] \in [/mm] o(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \in o(x+x^2)\,.$$
[/mm]
Und Deine andere Frage, warum
[mm] $x^2+o(x)=o(x)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$
gilt, stellst Du auch besser in der Form, warum
[mm] $x^2+o(x) \subseteq [/mm] o(x)$
gilt:
Kannst Du das nun selber beweisen? Du musst ja nur zeigen:
Aus
[mm] $$f(x)=x^2+g(x)$$
[/mm]
mit einem [mm] $g\,$ [/mm] mit
$$|g(x)/x| [mm] \to [/mm] 0$$
folgt
$$|f(x)/x| [mm] \to 0\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$|\tfrac{x^2+g(x)}{x}| \to 0\,.$$
[/mm]
Das ist nicht schwer...
P.S. Das "tückische" bei solchen Gleichungen mit dem Landau-Symbol ist
eben, dass genau das passiert, was Du hier machst: Man rechnet, ohne
sich wirklich im Klaren zu sein, was eigentlich die Bedeutung dabei ist. So
ist
[mm] $$o(x^3)=o(x^2)$$
[/mm]
eine MENGENGLEICHHEIT (die im übrigen FALSCH ist!)
Und [mm] $x^2+o(x)=o(x)$ [/mm] liest man eigentlich so (so kenne ich es zumindest):
[mm] $$x^2+o(x) \subseteq o(x)\,,$$
[/mm]
wobei man dabei [mm] $x\,$ [/mm] für die Identität [mm] $\text{id}_D:\IR \supseteq [/mm] D [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto \text{id}_D(x)=x \in [/mm] D$ schreibt, und etwa
für eine Funktion $f [mm] \colon \IR \supseteq [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] dann
[mm] $$f+\{g \colon D \to \IR: g \text{ erfüllt Eigenschaft }E \}:=\{f+g \colon D \to \IR: g \text{ erfüllt Eigenschaft }E \}$$ [/mm]
schreibt, wobei $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] D$ definiert wird.
(Anders gesagt: Es gilt
[mm] $$\ell \in (f+\{g \colon D \to \IR: g \text{ erfüllt Eigenschaft }E \})$$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $\ell \colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\ell(x)=f(x)+\tilde{g}(x)$ [/mm] mit
einem [mm] $\tilde{g}: [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] ist, wobei [mm] $\tilde{g}$ [/mm] die Eigenschaft [mm] $E\,$ [/mm] erfüllt.)
So besagt etwa
[mm] $$\log(1+x+x^2)=x+x^2+o(x+x^2)$$
[/mm]
nichts anderes, als dass mit [mm] $f(x):=\log(1+x+^2)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt
[mm] $$f(x)=x+x^2+g(x)$$
[/mm]
mit einem $g [mm] \in o(x+x^2)\,,$ [/mm] also gilt [mm] $|g(x)/(x+x^2)| \to 0\,.$
[/mm]
Und das, was hier
[mm] $$\log(1+x+x^2)= [/mm] x + [mm] x^2 [/mm] + [mm] o(x+x^2) [/mm] = [mm] x+x^2+o(x) [/mm] = x+o(x)$$
eigentlich WESENTLICH ist, ist, dass mit [mm] $f(x):=\log(1+x+^2)$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt
$$f(x)=x+h(x)$$
mit einem [mm] $h\,,$ [/mm] welches [mm] $|\tfrac{h(x)}{x}| \to [/mm] 0$ erfüllt. (Deswegen auch
mein Hinweis, dass Du in obiger Gleichungskette die [mm] $=\,$ [/mm] eigentlich nur
als [mm] "$\subseteq$" [/mm] zu lesen/beweisen brauchst!)
P.S.
Achja: $f(x)=g(x)+o(h(x))$ besagt, dass
$$f [mm] \in [/mm] (g+o(h))$$
ist. D.h. man kann schreiben
$$f(x)=g(x)+k(x)$$
mit einem [mm] $k\,$ [/mm] mit $|k(x)/h(x)| [mm] \to [/mm] 0$ bei $x [mm] \to x_0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> 1. Es ist für x [mm]\ne[/mm] 0:
>
> (*) [mm]\bruch{f(x)}{x+x^2}= \bruch{f(x)}{x}* \bruch{1}{1+x}[/mm]
>
> Wegen [mm]\bruch{1}{1+x} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0, folgt aus (*):
>
> f [mm]\in o(x+x^2) \gdw[/mm] f [mm]\in[/mm] o(x).
>
> 2. Ich würde das ohne "Landau" erledigen:
>
> Mit l'Hospital sieht man:
>
> [mm]\bruch{log(1+x+x^2)}{x+x^2} \to[/mm] 1 für x [mm]\to[/mm] 0.
das sieht man auch so: Betrachtet man
[mm] $$f(y):=\log(1+y)\,,$$
[/mm]
so ist [mm] $f\,'(0)=\frac{1}{1+0}*1=1\,.$
[/mm]
Also
[mm] $$1=f\,'(0)=\lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)-\log(1)}{1+y-1}=\lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)-\log(1)}{y}\,.$$
[/mm]
Mit [mm] $y:=x+x^2$ [/mm] folgt wegen $0 [mm] \not=x \to 0\;\;\;\Rightarrow\;\;\; [/mm] 0 [mm] \not=y \to [/mm] 0$ die Behauptung.
(Das ganze erinnert mich irgendwie an das, was ich hier (klick!)
mal geschrieben habe!)
Gruß,
Marcel
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