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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
| Aufgabe | Aufgabe 8.2 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}\wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}}
[/mm]
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ich bin wie folgt an die aufgabe rangegangen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}\wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x-2}}{\wurzel{x}+ \wurzel[4]{x+1}}
[/mm]
dann hab ich versucht irgendwie zu kürzen und zu drehen und zu quadrieren usw., bis jetzt leider erfolglos.
hoffe ihr könnt mir helfen, diese aufgabe zu lösen.
mfg aksu
ps: x soll ins positiv unendliche gehen, also [mm] +\infty
[/mm]
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo aksu!
Deine Umforumung im Nenner sist falsch, da im Allgemeinen gilt:
[mm] $$\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$$
[/mm]
Klammere in zähler und Nenner jeweisl $x_$ aus und kürze.
Gruß
Loddar
PS: Bitte passe doch Deinen mathematischen Background etwas an die Realität an.
Denn für Erstklässler ist diese Aufgabe zu hoch ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
| Aufgabe | Aufgabe 8.2 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}} [/mm] |
ok, danke für den hinweis.
ich habe es noch mal probiert und bin auf folgendes ergebnis gekommen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x-2(\bruch{x}{x})}{x+(\wurzel{x+1})(\bruch{x}{x})}} \Rightarrow [/mm] x ausklammern [mm] \Rightarrow \wurzel{\bruch{x(1+\bruch{2}{x})}{x(1+\bruch{\wurzel{x+1}}{x})}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{1+\bruch{2}{x}}{1+\bruch{\wurzel{x+1}}{x}}} \Rightarrow [/mm] x geht gegen [mm] +\infty \Rightarrow \wurzel{\bruch{1+\bruch{2}{0}}{1+\bruch{\wurzel{x+1}}{0}}} \Rightarrow \wurzel{\bruch{1+0}{1+0}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{1}} [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1
irgendetwas sagt mir , dass das die richtige lösung ist, aber ich will lieber noch mal fragen. ist das so korrekt ?
mfg aksu
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Hallo aksu,
> Aufgabe 8.2 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
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> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}}[/mm]
>
> ok, danke für den hinweis.
>
> ich habe es noch mal probiert und bin auf folgendes
> ergebnis gekommen:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{x-2}{x+\wurzel{x+1}}}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{\bruch{x-2(\bruch{x}{x})}{x+(\wurzel{x+1})(\bruch{x}{x})}} \Rightarrow[/mm]
> x ausklammern [mm]\Rightarrow \wurzel{\bruch{x(1+\bruch{2}{x})}{x(1+\bruch{\wurzel{x+1}}{x})}}[/mm]
Oh Vorzeichendreher im Zähler, aus - wird + ... macht aber fürs Ergebnis nix...
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} \wurzel{\bruch{1+\bruch{2}{x}}{1+\bruch{\wurzel{x+1}}{x}}}[/mm]
Bis hierhin ganz ok (Vorzeichen falsch)! (bis auf die Schreibweise, mal schreibst du lim dran, mal nicht, das solltest du konsistenter aufschreiben!)
> [mm] \Rightarrow [/mm] x geht gegen [mm]+\infty \Rightarrow \wurzel{\bruch{1+\bruch{2}{0}}{1+\bruch{\wurzel{x+1}}{0}}} \Rightarrow \wurzel{\bruch{1+0}{1+0}}[/mm]
Nein, was ist mit dem [mm] $\sqrt{x+1}$? [/mm] Das strebt doch für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$, [/mm] der eine Bruch also gegen [mm] $\frac{\infty}{0}$ [/mm] ...
Das ist ein unbestimmter Ausdruck.
Den Bruch [mm] $\frac{\sqrt{x+1}}{x}$ [/mm] musst du noch ein bissl umformen ... so direkt geht das hier nicht mit dem Grenzübergang [mm] $x\to\infty$
[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{1}{1}}[/mm] = [mm]\wurzel{1}[/mm] = 1
>
> irgendetwas sagt mir , dass das die richtige lösung ist,
> aber ich will lieber noch mal fragen. ist das so korrekt
Das ist im Endeffekt die richtige Lösung, aber der eine Schritt ist nicht ganz koscher ...
> ?
>
> mfg aksu
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
ich hoffe, dass das jetzt der korrekte weg ist.
ich hab das mal jetzt so umgeformt:
[mm] \bruch{\wurzel{x+1}}{x} \Rightarrow (x+1)^\bruch{1}{2} \* \bruch{1}{x} \Rightarrow (x^\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] 1^\bruch{1}{2}) \* x^{-1} \Rightarrow (x^\bruch{1}{2} [/mm] + [mm]0,5)[/mm] [mm] \* x^{-1} \Rightarrow [/mm] multiplizieren [mm] \Rightarrow x^{-\bruch{1}{2}} +0,5x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm]1,5x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] [mm] \vee -\wurzel{1,5x}
[/mm]
wenn ich das dann einsetze , erhalte ich folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1-2x^{-1}}{1+1,5x^{-\bruch{1}{2}}}} \Rightarrow [/mm] x geht gegen + [mm] \infty \Rightarrow \wurzel{\bruch{1-0}{1+0}} \Rightarrow \wurzel{\bruch{1}{1}} \Rightarrow \wurzel{1} [/mm] = [mm]1[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mi 02.12.2009 | | Autor: | glie |
Vorsicht!!!
Du machst aus [mm] $(x+1)^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] den Term [mm] $x^{\bruch{1}{2}}+1^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Setze zum Beispiel x=3.
Dann steht da [mm] $\wurzel{10}=4$ [/mm] !!!
Das stimmt so auf keinen Fall!!!!!
Das ist deshalb eine Mitteilung wert, weil du das in deiner ersten Frage schonmal gemacht hast.
Es ist [mm] $(a+b)^n$ EDIT:\red{(fast)} [/mm] NIEMALS das gleiche wie [mm] $a^n+b^n$
[/mm]
Versuche in Zukunft, diesen typischen Fehler zu vermeiden.Dann hat sich unsere Arbeit hier schon gelohnt, wenn du diesen Fehler nicht mehr machst.
Gruß Glie
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Hallo,
> Vorsicht!!!
>
> Du machst aus [mm]$(x+1)^{\bruch{1}{2}}$[/mm] den Term
> [mm]$x^{\bruch{1}{2}}+1^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Setze zum Beispiel x=3.
> Dann steht da [mm]\wurzel{10}=4[/mm] !!!
>
> Das stimmt so auf keinen Fall!!!!!
>
> Das ist deshalb eine Mitteilung wert, weil du das in deiner
> ersten Frage schonmal gemacht hast.
>
> Es ist [mm](a+b)^n[/mm] NIEMALS das gleiche wie [mm]a^n+b^n[/mm]
In Körpern der Charakteristik [mm] $n\neq [/mm] 0$ schon 
Kleiner Spaß ...
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> Versuche in Zukunft, diesen typischen Fehler zu
> vermeiden.Dann hat sich unsere Arbeit hier schon gelohnt,
> wenn du diesen Fehler nicht mehr machst.
> Gruß Glie
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 02.12.2009 | | Autor: | glie |
Mist!
Hab's verbessert!
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
ok, wie müsste denn jetzt der korrekte weg für diese aufgabe lauten ?
ich habe es versucht und will jetzt auch mit gutem gewissen schlafen gehen, indem ich mir das nochmal in ruhe durchlese und es mir verinnerliche.
wenn ihr so nett wärt, schreibt doch die lösung für die aufgabe bitte rein.
mfg aksu
ps: bin nicht faul um weiterzumachen, nur müde. ;(
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Hallo,
Wir betrachten den Limes für [mm] $x\to\infty$, [/mm] also sei im Folgenden $x>0$
Dann ist für den "kritischen" Bruch
[mm] $\frac{\sqrt{x+1}}{x}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{\frac{x+1}{x^2}}=\sqrt{\frac{x\cdot{}\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x\cdot{}x}}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{x}}{x}}\longrightarrow \sqrt{\frac{1+0}{\infty}}=\sqrt{0}=0 [/mm] \ \ $ für [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Damit basltel mal alles zusammen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
vielen dank für die antwort, jetzt komme ich so langsam wieder in gang.
die lösung wäre dann folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1-2x^{-1}}{1+\wurzel{\bruch{1+x^{-1}}{x}}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1-0}{1+0}} [/mm] = 1 für x [mm] \rightarrow +\infty
[/mm]
mfg aksu
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