Grenzwerte berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 Mo 10.01.2005 | | Autor: | droste |
Ich habe da mal ein paar Fragen zu Grenzwerten:
Könnte mir wohl wer ein paar Tips geben, wie ich z.B. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4^{n}}{n!} [/mm] oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] auf rechnerischem Wege berechne. Es ist ja klar, dass beide Aufgaben gegen 0 konvergieren, da n! offensichtlich schneller wächst als [mm] 4^{n} [/mm] bzw. da [mm] \wurzel{n+1} [/mm] offensichtlich immer größer wird und somit auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] gegen 0 konvergieren muss. Aber reicht das als Begründung?
Und könnte mir wohl einer einen Tip geben, wie ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n} [/mm] berechne?
Ich hab nun schon einiges versucht aber ich denke, am nächsten dran bin ich mit erweitern. Also da habe ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n} [/mm] mit [mm] \bruch{\wurzel{n^{2}+n}+n}{\wurzel{n^{2}+n}+n} [/mm] erweitert, so das im Nenner die Wurzel wegfällt (3. bin. Formel). Also das da dann [mm] \bruch{\wurzel{n^{2}+n}-n}{n^{2}+n-n^{2}} [/mm] steht, aber damit komm ich auch irgendwie nicht weiter. Hat da wer eine Idee?
Und dann hab ich noch Probleme mit einer Kurvendiskussion: Da soll ich die einseitigen uneigentlichen Grenzwerte an den Polstellen (1 und -1) der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^{4}}{|x|(x^{2}-1)} [/mm] berechnen. Das heisst doch für 1, dass ich [mm] \limes_{n\rightarrow\-1} \bruch{x^{4}}{|x|(x^{2}-1)} [/mm] von links und von recht berechnen muss. Wenn ich die Funktion zeichne, wird klar, dass bei der Näherung von links [mm] -\infty [/mm] und von rechts [mm] \infty [/mm] rauskommen muss. Für -1 genau das gleiche, nur das von links [mm] \infty [/mm] und von rechts [mm] -\infty [/mm] rauskommt. Aber ich kriege das nicht ausgerechnet, weil ich nicht weiß, wie ich mich so einer Funktion rechnerisch nur von einer Seite nähern soll. Hinzu kommt dann noch der Betrag von x, wo ich nicht weiß wie selbiger sich verhält.
Ich soll nämlich auch noch [mm] \limes_{n\rightarrow\pm\infty} \bruch{x^{4}}{|x|(x^{2}-1)} [/mm] berechnen, was prinzipiell kein Problem wäre, aber ich häng mich bei den Betragsstrichen auf. Weiß da vielleicht auch noch wer Rat.
Vielen Dank für Hilfe!
mfg, droste
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Di 11.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo droste,
nur kurz hierzu:
> Und könnte mir wohl einer einen Tip geben, wie ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n}[/mm]
> berechne?
> Ich hab nun schon einiges versucht aber ich denke, am
> nächsten dran bin ich mit erweitern. Also da habe ich
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n}[/mm] mit
> [mm]\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}[/mm] erweitert,
> so das im Nenner die Wurzel wegfällt (3. bin. Formel). Also
> das da dann [mm]\bruch{\wurzel{n^{2}+n}-n}{n^{2}+n-n^{2}}[/mm]
> steht, aber damit komm ich auch irgendwie nicht weiter. Hat
> da wer eine Idee?
Na, ist zwar nicht besonders wichtig für die Vorgehensweise, aber du hast dich etwas verrechnet oder verschrieben. Richtig wäre:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n}
=\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n}*\frac{\wurzel{n^{2}+n}+n}{\wurzel{n^{2}+n}+n}
=\bruch{\wurzel{n^{2}+n}\red{+}n}{n^{2}+n-n^{2}}[/mm]
Naja, rechne doch mal weiter:
[mm]\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+n}{\blue{n^{2}}+n\blue{-n^{2}}}
=\bruch{\wurzel{n^{2}+n}+n}{n}
=\frac{\wurzel{n^{2}+n}}{n}+\frac{n}{n}
=\frac{\wurzel{n^{2}+n}}{\wurzel{n^2}}+1
=\wurzel{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}\;\,+1
=\wurzel{1+\frac{1}{n}}\;\,+1[/mm]
Jetzt wüßten wir noch gerne, ob, und falls ja, wogegen [m]\wurzel{1+\frac{1}{n}}[/m] (bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] konvergiert?
Dazu überlege dir:
Wogegen konvergiert [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$? [/mm] Wogegen konvergiert deshalb [mm] $1+\frac{1}{n}$ [/mm] (bei $n [mm] \to \infty$)?
[/mm]
Weiter folgt dann, wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion, damit:
[m]\lim\limits_{n \to \infty}\wurzel{1+\frac{1}{n}}=\wurzel{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)}[/m]
Also gilt insgesamt:
[m]\lim\limits_{n \to \infty}\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n}=\lim\limits_{n \to \infty}\left[\wurzel{1+\frac{1}{n}}\;\,+1\right]=\lim\limits_{n \to \infty}\left[1+\wurzel{1+\frac{1}{n}}\right]=1+\lim\limits_{n \to \infty}\wurzel{1+\frac{1}{n}}=1+\wurzel{\lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)}=1+\wurzel{1}=1+1=2[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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