Grenzwerte Folgensubstitution < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:47 Do 14.01.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] $\limes_{h \to 0} \bruch{\bruch{a_{0}}{h^{p_{0}+1}}+\bruch{a_{1}}{h^{p_{1}+1}}+...}{e^{\bruch{1}{h^2}}}$ [/mm] mit [mm] $a_{0}, a_{1} [/mm] ... [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $p_{0}, p_{1}, [/mm] ... [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] |
Hallo,
heute habe ich eine Verständnisfrage. Wann kann ich Teile eines Grenzwertes ersetzen, wie ich das in folgendem tun werde? Darf ich das in diesem Beispiel? Meine Tutorin meinte irgendwas mit spezieller Folge und allgemeiner Folge oder so. Aber ich habe das noch nicht ganz verstanden.
Berechne also: [mm] $\limes_{h \to 0} \bruch{\bruch{a_{0}}{h^{p_{0}+1}}+\bruch{a_{1}}{h^{p_{1}+1}}+...}{e^{\bruch{1}{h^2}}}$
[/mm]
Setze $m := [mm] \bruch{1}{h}$. [/mm] Dann ist $h = [mm] \bruch{1}{m}$. [/mm] Für $h [mm] \to [/mm] 0$ geht also $m [mm] \to \pm \infty$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $\limes_{h \to 0} \bruch{\bruch{a_{0}}{h^{p_{0}+1}}+\bruch{a_{1}}{h^{p_{1}+1}}+...}{e^{\bruch{1}{h^2}}}= \limes_{m \to \infty} \bruch{a_{0}*m^{p_{0}+1} + a_{1}*m^{p_{1}+1} + ...}{e^{m^{2}}} [/mm] = 0$
(Da exponentielles Wachstum "größer" als jedes polynomielle Wachstum.)
Ist das richtig? Wenn nicht, ist die Idee zumindest richtig? Wie könnte ich sonst auf 0 kommen?
Vielen Dank schon einmal jeder Hilfe.
Gruß,
Sandro
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Hiho,
also ohne Einschränkungen an die [mm] $a_k$ [/mm] oder [mm] $p_k$ [/mm] wirst du da nichts machen können.
Insbesondere sollen deine [mm] $\ldots$ [/mm] wohl bedeuten, dass da unendlich viele Summanden folgen.
Es ist bspw für [mm] $a_k \ge [/mm] 0$ und [mm] $m\ge [/mm] 1$
[mm] $a_{0}\cdot{}m^{p_{0}+1} [/mm] + [mm] a_{1}\cdot{}m^{p_{1}+1} [/mm] + ... = [mm] \summe_{k=0}^\infty a_km^{p_k + 1} \ge \summe_{k=0}^\infty a_k$
[/mm]
und damit bspw. im Fall von $ [mm] \summe_{k=0}^\infty a_k [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]
$ [mm] \limes_{m \to \infty} \bruch{a_{0}\cdot{}m^{p_{0}+1} + a_{1}\cdot{}m^{p_{1}+1} + ...}{e^{m^{2}}} \ge \limes_{m \to \infty} e^{-m^2}\summe_{k=0}^\infty a_k [/mm] = [mm] \limes_{m \to \infty} e^{-m^2}\cdot \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] $
Ganz allgemein: Solange du keine Aussage über [mm] $\summe_{k=0}^\infty a_km^{p_k + 1}$ [/mm] machen kannst, stehst du ziemlich doof da.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Fr 15.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Hallo und danke für deine Antwort.
Bei dem "..." handelt es sich um eine "ganzrationale Funktion" beliebigen Grades, oder wie man das nennt, in jedem Fall also endlich viele Summanden.
Hintergrund ist die Untersuchung der n-ten Ableitung eienr Funktion, wobei bei jeder Ableitung mehr Summanden kommen. Wenn du so möchtest, kannst du das "..." auch einfach ignorieren.
Ich denke doch, dass ich dann den Grenzwert von 0 zeigen kann, oder? Und wenn nicht, wieso?
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Fr 15.01.2016 | | Autor: | fred97 |
>
> Hallo und danke für deine Antwort.
>
> Bei dem "..." handelt es sich um eine "ganzrationale
> Funktion" beliebigen Grades, oder wie man das nennt, in
> jedem Fall also endlich viele Summanden.
...... Polynom .....
>
> Hintergrund ist die Untersuchung der n-ten Ableitung eienr
> Funktion, wobei bei jeder Ableitung mehr Summanden kommen.
> Wenn du so möchtest, kannst du das "..." auch einfach
> ignorieren.
>
> Ich denke doch, dass ich dann den Grenzwert von 0 zeigen
> kann, oder?
Ja, es gilt , wenn p ein Polynom ist,
[mm] \bruch{p(x)}{e^x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
Und wenn nicht, wieso?
>
> Gruß,
> Sandro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 Fr 15.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort. Ja, ich dachte mir das auch mit dem Polynom.
Zurück zur Ausgangsfrage: Wie kann ich in meinem gestellten Beispiel zeigen, dass der Grenzwert 0 ist? Da ist ja noch eine Umformung nötig, ggf. diese Substitution, so wie ich sie mache. Ist diese korrekt?
Und allgemein: Wie funktioniert Substitution bei Grenzwerten? Kann ich die immer uneingeschränkt durchführen? Auf was muss ich evtl. aufpassen?
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 15.01.2016 | | Autor: | fred97 |
1. Stell Dir vor, Du hast eine Fuktionen $f:(0, [mm] \infty) \to \IR$. [/mm]
Dann definierst Du $g:(0, [mm] \infty) \to \IR$ [/mm] durch g(x):=f(1/x).
Versuch nun, mit Hilfe der Definition von Funktionengrenzwerten, zu zeigen:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0+0}f(h) [/mm] existiert [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] existiert
und in diesem Fal sind beide Grenzwerte gleich.
2. Sei q [mm] \in \IN. [/mm] Für x>0 gilt
[mm] $e^x=1+x+\bruch{x^2}{2!}+...+\bruch{x^{q+1}}{(q+1)!}+.... [/mm] > [mm] \bruch{x^{q+1}}{(q+1)!}$,
[/mm]
also ist
[mm] \bruch{e^x}{x^q}>\bruch{x}{(q+1)!}.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^x}{x^q}= \infty$
[/mm]
und somit
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^q}{e^x}= [/mm] 0$.
3. Ist nun p ein Polynom, so folgt aus 2. :
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{p(x)}{e^x}= [/mm] 0$.
Gruß FRED
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