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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 So 18.05.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{e^{x}-1}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x) - 1}{x^{2}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(x [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{2})tan [/mm] x
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{sinx}- \bruch{1}{x}
[/mm]
e) [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}(1+\bruch{1}{x})^{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
f) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}{sin(x)}^{tan(x)}
[/mm]
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Hallo!
Ich habe mich an den Aufgaben mit L'hospital versucht und bin zu den Ergebnissen gekommen. Es wäre nett, wenn sich jemand, der sich damit auskennt, mir sagen könnte, ob ich das richtig gemacht habe und zudem, wie die f) geht, weil ich da keinen Ansatz finde.
a) --> 1
b) --> [mm] \bruch [/mm] {-1} {2}
c) --> -1
d) --> 0
e) das hab ich so abgeschätzt, also ohne L'hospital.
denn [mm] \bruch [/mm] {1} {x} läuft gegen 0. Also steht in der Klammer 1 und das hoch unendlich ergibt 1. Ist das richtig?
f) habe ich keine Ahnung
Vielen Dank für Tipps :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 18.05.2008 | | Autor: | summer00 |
Danke für die Antwort.
Muss ich bei e überhaupt l'hospital anwenden, wenn ich das doch direkt sehen kann oder mache ich da einen Fehler und man kann das so gar nicht sehen und muss L'hospital anwenden.
An f hab ich mich jetzt noch mal gewagt.
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}= \bruch{cosx \* tan^{2}x}{sinx (-1-tan^{2}x)}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{cosx}{sinx}
[/mm]
g'(x) = [mm] \bruch{-1-tan^{2}x}{tan^{2}x}
[/mm]
Der Bruch wäre ja dann [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] also [mm] e^{0} [/mm] = 1 oder muss ich nochmal L'hospital nehmen weil, [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht ok ist?
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Hallo summer00,
> Danke für die Antwort.
> Muss ich bei e überhaupt l'hospital anwenden, wenn ich das
> doch direkt sehen kann oder mache ich da einen Fehler und
> man kann das so gar nicht sehen und muss L'hospital
> anwenden.
Bei e) hast Du einen unbestimmten Ausdruck der Form "[mm]1^{\infty}[/mm]". Da muss also L'hospital angewandt werden.
> An f hab ich mich jetzt noch mal gewagt.
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}= \bruch{cosx \* tan^{2}x}{sinx (-1-tan^{2}x)}[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{cosx}{sinx}[/mm]
> g'(x) = [mm]\bruch{-1-tan^{2}x}{tan^{2}x}[/mm]
> Der Bruch wäre ja dann [mm]\bruch{0}{0}.[/mm] also [mm]e^{0}[/mm] = 1 oder
> muss ich nochmal L'hospital nehmen weil, [mm]\bruch{0}{0}[/mm] nicht
> ok ist?
>
Jetzt ist erstmal vereinfachen dieses Ausdrucks angesagt. Wenn sich daraus wieder ein unbestimmter Ausdruck ergibt, dann ist L'hospital nochmals anzuwenden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 19.05.2008 | | Autor: | summer00 |
Hallo nochmals und Danke!
Leider kommen wir da irgendwie immer noch nicht weiter :(
Wir haben versucht [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}= \bruch{cosx * tan^{2}x}{sinx (-1-tan^{2}x)} [/mm] zu vereinfachen und haben statt sin(x) geschrieben, cos(x) [mm] \* [/mm] tan(x), so dass wir dann auf [mm] \bruch{- tan(x)}{-1-tan^{2}(x)} [/mm] kommen. Da tan(x) bei limes x gegen 0 auch gegen 0 läuft, wäre im Zähler 0 und der Bruch somit wieder Null. Ist das richtig???
Bei der e bekommen wir für [mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{2}+1)\*\wurzel{x^{2}+1}}{x^{3}+x{2}} [/mm] heraus und das läuft dann gegen 1. Richtig???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mo 19.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja ist richtig! (da der Nenner [mm] \ne0) [/mm] denk dran dass das noch im Exponenten steht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 19.05.2008 | | Autor: | summer00 |
Danke für die schnelle Antwort, aber ist jetzt e richtig oder f? Und sind beide richtig oder haben wir uns bei einer Aufgabe vertan?
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Hallo summer00,
> Danke für die schnelle Antwort, aber ist jetzt e richtig
> oder f? Und sind beide richtig oder haben wir uns bei einer
> Aufgabe vertan?
Bei der e) steht ja der Grenzwert, wie leduart schon schrieb, im Exponenten.
Den muss also, dann noch berechnen.
Bei der f) ging es ja darum, den Ausdruck zu vereinfachen.
Denke hierbei daran, daß [mm]1+\tan^{2}\left(x\right)=\bruch{1}{\cos^{2}\left(x\right)}[/mm]
Gruß
MathePower
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