Grenzwerte Berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n})
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\bruch{1}{n})
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1}) [/mm] |
Nun habe ich gerechnet:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n})=\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}
[/mm]
Als erstes Bruch erweitert:
[mm] \bruch{n*n}{(n+1)*n}-\bruch{(n+1)*(n+1)}{n*(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{2}}{n^{2}+n}-\bruch{n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^{2}-n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{n^{2}+n}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\bruch{1}{n})=-n+\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{-n}{1}+\bruch{1}{n}
[/mm]
Erweitert:
[mm] =\bruch{-n*n}{1*n}+\bruch{1*1}{n*1}
[/mm]
[mm] =\bruch{-n^{2}}{n}+\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{-n^{2}+1}{n}
[/mm]
Kürzen:
[mm] =\bruch{-n+1}{1}
[/mm]
=-n+1
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})=\bruch{n}{n^{2}+n-1}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher was ich machen muss
Wäre euch für jede Hilfe sehr Dankbar. MFG Tobias
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> Berechnen Sie:
>
> a)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n})[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\bruch{1}{n})[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})[/mm]
> Nun habe ich gerechnet:
Hallo,
auf Deine Umformungen gehe ich gleich genauer ein.
Aber Du scheinst zu vergessen, daß diese kein Selbstzweck sind, denn die eigentliche frage, die Frage nach dem Grenzwert, läßt Du jeweils offen. Was ist denn nun, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] geht?
>
> a)
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n})
[/mm]
Es ist
> [mm] \bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}[/mm]
[/mm]
> Als erstes Bruch erweitert:
>
>= [mm]\bruch{n*n}{(n+1)*n}-\bruch{(n+1)*(n+1)}{n*(n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{2}}{n^{2}+n}-\bruch{n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{2}-n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}[/mm]
Hier hast Du einen Fehler gemacht. Es muß heißen
[mm] =\bruch{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}+n}
[/mm]
=...
>
> b)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\bruch{1}{n})[/mm]
Es ist
[mm] -n+\bruch{1}{n}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{-n}{1}+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Erweitert:
>
> [mm]=\bruch{-n*n}{1*n}+\bruch{1*1}{n*1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-n^{2}}{n}+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-n^{2}+1}{n}[/mm]
>
> Kürzen:
Ogottogott! Tu's nicht! Ich sag's nicht gern, aber kennst Du den Spruch: aus Summen kürzen nur die Dummen?
Du kannst das doch nicht machen!!!
Oder ist seit Neuestem [mm] \bruch{-5^{2}+1}{5}=\bruch{-24}{5} [/mm] dasselbe wie [mm] \bruch{-5+1}{1}=-4 [/mm] ???
>
> [mm]=\bruch{-n+1}{1}[/mm]
>
> =-n+1
>
>
> c)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})=\bruch{n}{n^{2}+n-1}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht sicher was ich machen muss
Den Grenzwert berechnen.
Auf jeden Fall ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})\not=\bruch{n}{n^{2}+n-1}.
[/mm]
Sonst könnten wir uns ja das Rechnen sparen.
So geht's: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{n}{n}}{\bruch{n^2}{n}+\bruch{n}{n}-\bruch{1}{n}}),
[/mm]
und nun überlege Dir, wa passiert, wenn [mm] n\to \infty [/mm] geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Hallo Angela. Danke für deine Antwort.
Ich habe noch eine Frage zu deiner Antwort:
>
> a)
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n})
[/mm]
Es ist
> [mm] \bruch{n}{n+1}-\bruch{n+1}{n}[/mm]
[/mm]
> Als erstes Bruch erweitert:
>
>= [mm]\bruch{n*n}{(n+1)*n}-\bruch{(n+1)*(n+1)}{n*(n+1)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{2}}{n^{2}+n}-\bruch{n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{n^{2}-n^{2}+2n+1}{n^{2}+n}[/mm]
>>Hier hast Du einen Fehler gemacht. Es muß heißen
[mm] >>=\bruch{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}+n} [/mm]
Also wenn ich das ausrechne
[mm] \bruch{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}+n} [/mm]
bekomme ich:
[mm] \bruch{-2n-1}{n^{2}+n} [/mm]
Muss ich dann noch n ausklammern
[mm] \bruch{n(-2-\bruch{1)}{n}}{n(n+1)} [/mm]
und wegkürzen das ich auf folgendes Ergebnis komme:
[mm] \bruch{-2-\bruch{1}{n}}{n+1}
[/mm]
oder ist das unnötig?
Wenn [mm] n\to \infty [/mm] konvergiert die Folge gegen 0. Ist das korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 25.11.2007 | | Autor: | Tobias2k |
Zuerst zur b)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(-n+\bruch{1}{n})[/mm]
Es ist
[mm] -n+\bruch{1}{n} [/mm]
Erweitert:
[mm]=\bruch{-n*n}{1*n}+\bruch{1*1}{n*1}[/mm]
[mm]=\bruch{-n^{2}}{n}+\bruch{1}{n}[/mm]
[mm]=\bruch{-n^{2}+1}{n}[/mm]
Wenn [mm] n\to \infty [/mm] konvergiert die Folge gegen [mm] -\infty
[/mm]
Zur c)
Du schreibst hier:
>Den Grenzwert berechnen.
Das dachte ich mir 
>Auf jeden Fall ist > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})\not=\bruch{n}{n^{2}+n-1}.
[/mm]
> Sonst könnten wir uns ja das Rechnen sparen.
>So geht's: > [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{n}{n}}{\bruch{n^2}{n}+\bruch{n}{n}-\bruch{1}{n}}),
[/mm]
du teilst hier durch n ich glaube dies ist falsch und man muss nur [mm] n^{2} [/mm] teilen so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n^{2}+n-1})=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{n}{n^{2}}}{\bruch{n^2}{n^{2}}+\bruch{n}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{2}}})
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\bruch{n}{n^{2}}}{1+\bruch{n}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{2}}})
[/mm]
Wenn [mm] n\to \infty [/mm] konvergiert die Folge gegen 0
Richtig?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
