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| Aufgabe | Beweisen sie folgende Grenzwertaussagen:
[mm] \bruch{1+2+3+....+n}{n²} [/mm] |
Bei der Aufgabe soll ja gezeigt werden das die gegebene Folge gegen 1/2 geht. Das ganze mache ich dann ja einfach mit den Limes Sätzen.
[mm] \bruch{1+2+3+....+n}{n²}
[/mm]
Den Zähler kann ich ja schreiben als [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
wobei nach auflösen des Doppelbruchs dann folgendes rauskommt:
[mm] \bruch{n(n+1)}{2n²}
[/mm]
Meine Frage ist jetzt Folgende : Multipliziere ich aus oder multipliziere ich nicht aus?
Wenn ich nicht ausmultipliziere erhalte ich nach ausklammern von n²:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1/n(1/n+1/n²)}{2} [/mm]
Das ganze würde also gegen Null gehen!
Wenn ich jetzt hingegen vorher ausmultipliziere erhalte ich:
[mm] \bruch{n²+n}{2n²}
[/mm]
Wobei ich dann hier nach anwenden der Limessätze und nach ausklammern von n² auf 1/2 komme?
lg
marry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marry!
Du hast zuviel ausgeklammert. Es muss heißen:
[mm] $$\bruch{n*(n+1)}{2*n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)}{2*n^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+\bruch{1}{n}}{2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Okk, lass mich das grad mal nachvollziehn :
Aus dem kompletten Bruch [mm] \bruch{n(n+1)}{2n²} [/mm] klammere ich ja n² aus!
Im Zähler ist sogesehn ja schon ein n ausgeklammert.-> n(n+1)
Wenn ich jetzt also n² aus dem kompletten Bruch rausziehe ziehe ich im Zähler in der Klammer nur noch n weg weil das n vor der Klammer steht und ich aus dem n vor der Klammer ja auch n rausziehe?
Hoffe du kannst meine denkweise nachvollziehn.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marry!
Das klingt so richtig.
auf jeden Fall sollte nun auf beide Methoden (siehe Deine Frage) derselbe Grenzwert mit [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] herauskommen.
Gruß
Loddar
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