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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Mangan |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Riemannschen Summe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=n}^{2n} [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{k}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(n+1)(n+2)***(n+n)} [/mm] |
Hallo und danke für die Hilfe.
Beim ersten dacht ich mir. schreib einfach mal um:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n} [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{n(1+\bruch{k}{n})}
[/mm]
nun ist das einzige was mich stört dieses n im nenner. eigentlich müsste es außerhalb des Sinuses stehen. Dann könnte man Folgendes anwenden:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}\summe_{k=0}^{n} f(\bruch{k}{n})= \integral_{0}^{1}{f(\bruch{k}{n}) dx}. [/mm] Allerdings weiß ich nicht, wie ich das n herausbekommen. auch Termumformen halfen bis jetzt nicht.
Beim zeiten hatte ich erst mal mit hilfe vom Polizistenprinzig abgeschätzt und dann noch es in eine solche Summe der obrigen Form umgewandelt. Ich komm auf das Ergebniss 1, aber denke nicht, dass es der Sinn dieser Aufgebe war.
Wäre also schön, wenn ein paar Tipps für die Umformungen kämen.
Vielen Dank
Mangan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Mangan |
Hallo,
gibt es noch andere Möglichkeiten über die Riemannsche Summe heranzugehen?
Mangan
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So ganz durchschaue ich es noch nicht.
Zunächst verwende ich [mm]\sin x \approx x[/mm] für [mm]x \approx 0[/mm]. Für große [mm]n[/mm] heißt das
[mm]\sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k} \approx \pi \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}[/mm]
Und das ist genau das Problem: Bleibt die ungefähre Gleichheit erhalten, wenn [mm]n[/mm] immer größer wird? Denn es wächst ja mit [mm]n[/mm] in der Summe auch die Anzahl der Summanden. Jetzt unterstelle ich einmal, daß das stimmt, ja noch mehr, daß im Limes aus der ungefähren Gleichheit echte Gleichheit wird:
[mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k} = \pi \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k}[/mm]
Wenn das so ist, ist der Rest jetzt kein Problem mehr. Denn für das Integral
[mm]\int_n^{2n} \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln 2[/mm]
ist [mm]\sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k}[/mm] eine Obersumme und [mm]\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}[/mm] eine Untersumme (betrachte die Zerlegung des Intervalls [mm][n,2n][/mm] in [mm]n[/mm] Intervalle der gleichen Breite 1). Daher folgt:
[mm]\frac{1}{2n} + \ln 2 \leq \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} \leq \frac{1}{n} + \ln 2[/mm]
Daraus folgt:
[mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k} = \ln 2[/mm]
Und mit der obigen Vermutung heißt das
[mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k} = \pi \ln 2[/mm]
Numerische Rechnungen scheinen das Ergebnis zu bestätigen.
EDIT
Ich habe die Beweislücke geschlossen. Aus der Taylorentwicklung der Sinusfunktion habe ich die folgende Ungleichung gewonnen:
(*) [mm]0 \leq x - \sin x \leq \frac{x^3}{6}[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm]
Die linke Ungleichung ist bekannt, die rechte beweist man mittels der Differenzfunktion und ihren Ableitungen:
[mm]f(x) = \frac{x^3}{6} - x + \sin x \, , \ \ f'(x) = \frac{x^2}{2} - 1 + \cos x \, , \ \ f''(x) = x - \sin x[/mm]
Für [mm]x>0[/mm] ist [mm]f''(x)>0[/mm]. Daher ist [mm]f'[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm] streng monoton wachsend. Wegen [mm]f'(0)=0[/mm] ist daher [mm]f'(x)>0[/mm] für [mm]x>0[/mm]. Also ist [mm]f[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm] streng monoton wachsend. Und wiederum folgt aus [mm]f(0)=0[/mm], daß [mm]f(x)>0[/mm] ist für [mm]x>0[/mm]. Und damit ist die rechte Ungleichung in (*) bewiesen.
Nun setzt man [mm]x = \frac{\pi}{k}[/mm] in (*) ein und summiert auf. Dann folgt:
[mm]0 \leq \sum_{k=n}^{2n} \left( \frac{\pi}{k} - \sin \frac{\pi}{k} \right) \leq \frac{\pi^3}{6} \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k^3} \leq \frac{\pi^3}{6} \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^3}[/mm]
Da die Reihe [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}[/mm] konvergiert, strebt der Reihenrest [mm]\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^3}[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm] gegen 0. Es folgt
[mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \sin \frac{\pi}{k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{2n} \frac{\pi}{k}[/mm]
falls einer der beiden Grenzwerte existiert. Der Grenzwert rechts aber existiert, wie oben bereits gezeigt wurde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Mangan |
Wow,
an was man so alles denken muss. Ist keiner von uns im Jahrgang drauf gekommen. danke, dass gleich die komplette Lösung geliefert wurde. Ich versuchs einfach mal selbst so oder so ähnlich zu probieren.
Gibts bei dem zweiten einen Ansatz?
Mangan
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Betrachte den logarithmierten Term
[mm]\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln(n+k) = \ln n + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \frac{k}{n} \right)[/mm]
Und die Summe rechts ist nun eine Obersumme von [mm]\int_1^2 \ln x~\mathrm{d}x = 2 \ln 2 - 1[/mm] .
Damit besteht für den Wurzelterm die Abschätzung [mm]\frac{4n}{\operatorname{e}}[/mm] nach unten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 05.02.2009 | | Autor: | Mangan |
Vielen Dank. Ich habs jetzt auch.  (*glücklich*) thx.
Den [mm]ln()[/mm] gesehen und schon ...
Mangan
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Die Lösung der ersten Aufgabe steht zwar, ist aber doch recht aufwendig. Wenn ihr diese Aufgabe besprochen habt, würde mich die Lösung interessieren. Ich wollte dich daher bitten, diese hier hereinzustellen. Ich denke nämlich, daß es mit einem passend gewählten Integranden samt zugehöriger Riemann-Summe vielleicht eleganter geht.
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