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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo alle zusammen!
Da muss ich doch auch an diesesm "schönen" (wolkigen) Montagnachmittag meine Frage loswerden! naja, also legen wir mal los:
Und zwar sind wir gerade dabei Grenzwerte zu bestimmen.
z.B. haben wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{3}+n}{4n{3}-n}
[/mm]
bestimmt indem wir den ganzen bruch hinter lim mit [mm] n^{3} [/mm] dividiert haben.sodass wir nur noch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1+\bruch{1}{n²}}{4-\bruch{1}{n²}} [/mm] da zustehen haben. und da wir den Grenzwert von
[mm] \bruch{1}{n²} [/mm] kennen, der ist nämlich gleich 0, erhalten wir als Grenzwert [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Ok, also nach diesem Prinzip sind wir bislang vorgegangen. Nun haben wir aber gegeben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} q^{n} [/mm] mit 0<q<1 .
Also´wenn ich nach dem obigen Prinzip vorgehe, dann würde ich ja durch n teilen und würde als Grenzwert [mm] q^{1} [/mm] erhalten, was ziemlich unlogisch und undwahrscheinlich ist wie ich finde.
Denn , wenn ich probiere und für q irgedneine Dezimal- oder Bruchzahl kleiner als 1 einsetze und dann mein n beliebig hoch wähle ( meinetwegen 9999999... oder so etwas), dann sagt mein taschenrechner meist 0. also könnte man ja meinen, aha, wenn der taschenrechner das so sagt, dann wird das ja wohl so sein. es scheint ja auch als Grnezwert entweder nur 0 oder 1 in frage zu kommen. und 0 ist da ja auch relativ wahrscheinlich, weil wenn ich immer wieder (eine Deziamlzahl oder einen Bruch mit Zahler<Nenner potenziere, dann wird meine Zahl ja immer kleiner.
und selbst wenn ich 0, 99999999 mit 999999999 oder so potenziere, die zahl wird ja immer kleiner und geht imer weiter an 0 ran. aber wie komme ich denn darauf? also wie kann ich das beweisen?
Denn das muss man doch auch rechnerisch zeigen können? welche "trick" muss ich da anwenden? ich wäre super dankbar, wenn mir irgednwer nen kleinne tipp geben könnte, vielleicht in welche richtugn ich denken muss :)
Danke schonmal!
Schönen Tag noch und bis denn! fuechsin :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Inga
Bei
[mm] \sum\limits_{k = 0}^\infty{q^k }= 1+q+q^2+q^3+...... [/mm]
handelt es sich um die allgemeine geometrische Reihe.
Für [mm] q\not=1 [/mm] gilt für die Partialsumme:
[mm] s_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+......q^{n}
[/mm]
und für das Produkt [mm] q*s_{n}:
[/mm]
[mm] q*s_{n}=q+q^{2}+q^{3}+....+q^{n+1}
[/mm]
Subtrahiert man diese voneinander erhält man:
[mm] s_{n}-q*s_{n}=1-q^{n+1} [/mm] bzw. [mm] s_{n}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Für |q|<1 ist die Folge ( [mm] s_{n} [/mm] ) und damit die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^{k} [/mm] konvergent und es gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^{k}=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mo 06.06.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Fabian und Inga,
> Bei
>
>
> [mm]\sum\limits_{k = 0}^\infty{q^k }= 1+q+q^2+q^3+......[/mm]
>
> handelt es sich um die allgemeine geometrische Reihe.
Inga hat aber nach einer Folge gefragt!
>
> Für [mm]q\not=1[/mm] gilt für die Partialsumme:
>
> [mm]s_{n}=1+q+q^{2}+q^{3}+......q^{n}[/mm]
>
> und für das Produkt [mm]q*s_{n}:[/mm]
>
> [mm]q*s_{n}=q+q^{2}+q^{3}+....+q^{n+1}[/mm]
>
> Subtrahiert man diese voneinander erhält man:
>
> [mm]s_{n}-q*s_{n}=1-q^{n+1}[/mm] bzw.
> [mm]s_{n}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
> Für |q|<1 ist die Folge ( [mm]s_{n}[/mm] ) und damit die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}[/mm] konvergent und es gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> Hilft dir das weiter?
Ich glaube kaum. 
>
> Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo informix und Stefan
Ihr beiden habt natürlich Recht. Da hab ich wohl nicht nachgedacht! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Gruß Fabian
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Hallo Inga,
> Nun haben wir aber gegeben
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} q^{n}[/mm] mit 0<q<1 .
> Also´wenn ich nach dem obigen Prinzip vorgehe, dann würde
> ich ja durch n teilen ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und würde als Grenzwert [mm]q^{1}[/mm]
bbbbbbrrrrrrrrrrrrr
> erhalten, was ziemlich unlogisch und undwahrscheinlich ist
> wie ich finde.
[allerdings]
> Denn , wenn ich probiere und für q irgedneine Dezimal- oder
> Bruchzahl kleiner als 1 einsetze und dann mein n beliebig
> hoch wähle ( meinetwegen 9999999... oder so etwas), dann
> sagt mein taschenrechner meist 0. also könnte man ja
> meinen, aha, wenn der taschenrechner das so sagt, dann wird
> das ja wohl so sein. es scheint ja auch als Grnezwert
> entweder nur 0 oder 1 in frage zu kommen. und 0 ist da ja
> auch relativ wahrscheinlich, weil wenn ich immer wieder
> (eine Deziamlzahl oder einen Bruch mit Zahler<Nenner
> potenziere, dann wird meine Zahl ja immer kleiner.
> und selbst wenn ich 0, 99999999 mit 999999999 oder so
> potenziere, die zahl wird ja immer kleiner und geht imer
> weiter an 0 ran. aber wie komme ich denn darauf? also wie
> kann ich das beweisen?
> Denn das muss man doch auch rechnerisch zeigen können?
> welche "trick" muss ich da anwenden? ich wäre super
> dankbar, wenn mir irgednwer nen kleinne tipp geben könnte,
> vielleicht in welche richtugn ich denken muss :)
Probieren ist ja nicht schlecht.
Aber wie wär's mal einfach mit der Definition des  Grenzwerts?
Gesucht ist ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] so dass gilt:
[mm] $|q^n [/mm] - 0| < [mm] \epsilon$ [/mm] , also [mm] $|q^n|<\epsilon$ \gdw $n*\log(q) [/mm] < [mm] \log \epsilon$, [/mm] geht weil 0<q<1 gilt.
Hieraus kannst du nun "für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0" das zugehörige n berechnen und damit zeigen,
egal wie klein du [mm] \epsilon [/mm] wählst, es gibt immer ein n so, dass alle weiteren Folgenglieder in der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] von 0 liegen [mm] \gdw [/mm] 0 ist der Grenzwert.
Jetzt klar(er)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 07.06.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo!
Also erstma danke an euch alle, dass ihr da ma reingeschaut habt. musste zwar bei euer kleinen durcheinander gehts nich oder nich, erstma durchblicken, aber das ging schon :) und macht auch nix, jeder kann sich mal verlesen, aber mit der reihe geht das leider wirklich nicht. naja, also kehren wir zurück zu meiner tollen aufgabe.
ja, informix, die Variante das mit der Definition des Grenzwertes zu beweisen kenne ich auch( das haben wir auch bereits gemacht, mit der Umgebung und so) .damit kann ich zeigen, dass eine Folge konvergent ist. aber welchen Grenzwert sie hat?
und wir sollen das jetzt glaube ich gerade ohne diese Definition machen sondern das nur mit Limes beweisen? da gibt es nicht noch irgendwie was anderes, dass mich drauf kommen lässt das es null ist, oder? hm, was passiert denn, wenn ich statt q jetzt [mm] \bruch{a}{b} [/mm] schreibe ?*überleg*
Dann hätte ich da zu stehen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a}{b})^{n} [/mm] mit a<b .
bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n}}{b^{n}}
[/mm]
ha, na toll, es muss aber gar kein bruch sein, kann ja auch ne reelle zahl sein*verdammt*
ja, also das führt mich nirgedns hin, richtig? oder hab ich da was übersehen? also für den fall , dass es da noch nen anderen netten "Trick" gibt, dafür bin ich jederzeit bereit :) Weil ich kann ja nicht nur im Taschenrechner probieren...also, dass 0 Grenzwert ist, weiß ich ja jetzt(würde ja auch die allgemeine erste Ableitungsregel ergeben) aber... so richtig mathematisch beweisen?
Hm, vielleicht fällt jemandem noch was dazu ein oder kann mir sagen, nein mädel, das kann man nich (was ich nich glaueb, in der mathematik kann man alles mögliche beweisen und nich nur einfach probieren! :)
Viele grüße, fuechsin
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Das mit dem Bruch fand ich schon einen guten Ansatz! Du brauchst ja nicht anzunehmen, dass a und b ganze Zahlen sind! Eigentlich dürfte sogar nur a reichen mit a > 1 . Dann ist 0 < 1/a < 1 (Die Relation f(a) = 1/a ist in den gegebenen intervallen sogar eindeutig umkehrbar ). Dann hast du also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1/a^n)
[/mm]
Da a > 1 ist, wird [mm] a^n [/mm] gegen unendlich laufen und damit ist [mm] 1/a^n [/mm] offensichtlich eine Nullfolge. (Sorry, is alles nicht so toll formal; bin davon halt kein großer Freund....)
Gruß TranVanLuu
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Hallo!
> ja, informix, die Variante das mit der Definition des
> Grenzwertes zu beweisen kenne ich auch( das haben wir auch
> bereits gemacht, mit der Umgebung und so) .damit kann ich
> zeigen, dass eine Folge konvergent ist. aber welchen
> Grenzwert sie hat?
nein, den Grenzwert muss man schon wissen oder besser geraten/vermutet haben, denn der Anfang der Überlegung war doch:
$ [mm] |q^n [/mm] - 0| < [mm] \epsilon [/mm] $ mit 0=Grenzwert !!!
Wenn man die Konvergenz mit der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] nachweist, benötigt man stets den Grenzwert!
> und wir sollen das jetzt glaube ich gerade ohne diese
> Definition machen sondern das nur mit Limes beweisen? da
> gibt es nicht noch irgendwie was anderes, dass mich drauf
> kommen lässt das es null ist, oder? hm, was passiert denn,
> wenn ich statt q jetzt [mm]\bruch{a}{b}[/mm] schreibe ?*überleg*
> Dann hätte ich da zu stehen
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{a}{b})^{n}[/mm] mit a<b .
> bzw. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a^{n}}{b^{n}}[/mm]
> ha,
> na toll, es muss aber gar kein bruch sein, kann ja auch ne
> reelle zahl sein*verdammt*
> ja, also das führt mich nirgedns hin, richtig? oder hab
> ich da was übersehen? also für den fall , dass es da noch
> nen anderen netten "Trick" gibt, dafür bin ich jederzeit
> bereit :) Weil ich kann ja nicht nur im Taschenrechner
> probieren...also, dass 0 Grenzwert ist, weiß ich ja
> jetzt(würde ja auch die allgemeine erste Ableitungsregel
> ergeben) aber... so richtig mathematisch beweisen?
>
> Hm, vielleicht fällt jemandem noch was dazu ein oder kann
> mir sagen, nein mädel, das kann man nich (was ich nich
> glaueb, in der mathematik kann man alles mögliche beweisen
> und nich nur einfach probieren! :)
> Viele grüße, fuechsin
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