Grenzwerte < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 05.10.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0}\wurzel{x}*lnx
[/mm]
|
| Aufgabe 2 | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x*(1-e^{\bruch{1}{x}})} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}} [/mm] |
Hallo und guten Abend,
ich habe einige Fragen gesammelt zu oben stehenden Aufgaben:
zu Aufg. 3:
Ich habe als Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
zu Aufg. 1:
Ich weiß, dass ich hier ebenfalls L'Hospital anwenden darf, da von Gestalt [mm] 0*\infty [/mm] , aber wie bekomme ich die entsprechende Umformung hin, sodass
[mm] \bruch{u(x)}{\bruch{1}{v(x)}} [/mm] gilt, hab das aus der Formelsammlung heraus...
zu Aufg. 2:
Hier konnte ich leider keine geeigneten Operationen finden, die zur Lösung beitragen.
Könnt Ihr mir helfen meine Fragen zu klären?
MfG
Sebastian
|
|
| |
|
Hallo Sebastian,
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
>
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\ 0}\wurzel{x}*lnx$
[/mm]
>
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\infty}\bruch{1}{x*(1-e^{\bruch{1}{x}})}$
[/mm]
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}$
[/mm]
> Hallo
> und guten Abend,
>
> ich habe einige Fragen gesammelt zu oben stehenden
> Aufgaben:
>
> zu Aufg. 3:
>
> Ich habe als Grenzwert [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}=\bruch{1}{2}$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du darauf? Ich nehme an, du hast mit [mm] $1+\sqrt{x}$ [/mm] erweitert, um im Nenner die 3. binomische Formel hinzubasteln?
Rechne nochmal nach ...
>
> zu Aufg. 1:
>
> Ich weiß, dass ich hier ebenfalls L'Hospital anwenden darf,
> da von Gestalt [mm]0*\infty[/mm] , aber wie bekomme ich die
> entsprechende Umformung hin, sodass
> [mm]\bruch{u(x)}{\bruch{1}{v(x)}}[/mm] gilt, hab das aus der
> Formelsammlung heraus...
Ja, schreibe [mm] $\sqrt{x}\cdot{}\ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ (rechtsseitiger Limes!!) gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$, [/mm] also kannst du mit de l'Hôpital loslegen
>
> zu Aufg. 2:
>
> Hier konnte ich leider keine geeigneten Operationen finden,
> die zur Lösung beitragen.
Betrachte statt [mm] $x\to\infty$ [/mm] mal [mm] $\frac{1}{x}\downarrow [/mm] 0$
Setze dazu [mm] $y:=\frac{1}{x}$, [/mm] betrachte also [mm] $\lim\limits_{y\downarrow 0}\frac{1}{\frac{1}{y}\cdot{}(1-\exp(y))}=\lim\limits_{y\downarrow 0}\frac{y}{1-\exp(y)}$
[/mm]
Nun schreibe mal die Exponentialreihe hin, also für [mm] $\exp(y)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot{}y^k$
[/mm]
Nimm dir dort die ersten paar Summanden raus, für den Rest reicht es, wenn du die Größenordnung angibst.
Dann vereinfachen und der GW sticht ins Auge 
>
> Könnt Ihr mir helfen meine Fragen zu klären?
>
> MfG
>
> Sebastian
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
alternativ kannst du bei (2) natürlich auch die Regel von de l'Hôpital verwenden, wenn du schreibst:
[mm] $\frac{1}{x\cdot{}\left(1-\exp(\frac{1}{x})\right)}=\frac{\frac{1}{x}}{1-\exp(\frac{1}{x})}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also einen unbestimmten Ausdruck, also ran mit de l'Hôpital
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 05.10.2008 | | Autor: | RuffY |
... bei
[mm] \limes_{\red{x}\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}
[/mm]
habe ich L'Hospital angewandt, da dieser Ausdrick doch der Gestalt [mm] \bruch{0}{0} [/mm] entspricht..?!
... hätte ich für
[mm] \sqrt{x}\cdot{}\ln(x)=\frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{ln(x)}}
[/mm]
schreiben können..?
deine Ausführungen zur 2. Aufg. verstehe ich leider nicht. Wir hatten Grenzwertberechnungen nur ohne Folgen/ Reihen gemacht.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ... bei
>
> [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}[/mm]
>
> habe ich L'Hospital angewandt, da dieser Ausdrick doch der
> Gestalt [mm]\bruch{0}{0}[/mm] entspricht..?!
Ja, kannst du natürlich machen, Zähler und Nenner getrennt abgeleitet ergibt:
[mm] $\frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}\longrightarrow [/mm] 2$ für [mm] $x\to [/mm] 1$
>
>
>
> ... hätte ich für
>
> [mm]\sqrt{x}\cdot{}\ln(x)=\frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{ln(x)}}[/mm]
>
> schreiben können..?
Ja, aber ob's dadurch einfacher wird?
Du müsstest so ja [mm] $\frac{1}{\ln(x)}$ [/mm] ableiten ...
>
>
> deine Ausführungen zur 2. Aufg. verstehe ich leider nicht.
> Wir hatten Grenzwertberechnungen nur ohne Folgen/ Reihen
> gemacht.
siehe andere Mitteilung
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
