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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 08.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{1}{2-x} - \bruch{12}{8-x^3}\right [/mm] ) |
Hallo!
Also, ich habe keine wirklichen Lösungsansätze für diese Aufgabe.
Durch Einsetzen weiß ich das der Grenzwert -0.5 ist.
Aber zeigen kann ich das nicht. Ich habe etwas im Forum gestöbert und oftmals etwas vom Satz von L'Hospital gelesen.
Aber dieser wurde in unserer Vorlesung noch nicht gezeigt.
Wie kann ich das denn machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Do 08.06.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo!
Habt ihr schon den Links- und Rechtsseitigen Grenzwert gemacht?
wenn Links- und Rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen dann ist dies der gesuchte Grenzwert !
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Hallo Romy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{1}{2-x} - \bruch{12}{8-x^3}\right)[/mm]
Ich würde zunächst versuchen das auf einen Hauptnenner zu bringen und danach versuchen 2-x auszuklammern und zu kürzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, wenn ich die beiden Brüche auf einen Nenner bringe und dann weiter vereinfache, bekomme ich
$ \limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{-x^3-4}{8-x^3}\right) $
Und nun?
Wir haben heute ewig gesessen und rumgerätselt.
Denn wenn ich jetzt davon den Grenzwert bestimme erhalte ich einen Grenzwert von -1. Das ist doch aber nicht mein Grenzwert?! Oder?
Wie gesagt hatte ich beim Einsetzen den GW -0,5 raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 09.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo trine22,
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{1}{2-x} - \bruch{12}{8-x^3}\right [/mm] )$
Ich komme da auf
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{-x^3+12x-16}{(2-x)(8-x^3)}$
[/mm]
was ich nicht sehr wohl mit $(2-x)$ kürzen kann! (s.u.)
statt
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{-x^3-4}{8-x^3}\right)[/mm]
Zum Kürzen:
[mm] $=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{(2-x)(x^2+2x-8)}{(2-x)(8-x^3)}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^2+2x-8}{8-x^3}$
[/mm]
das kann - wie leduart schon ausführte - erneut mit $(2-x)$ gekürzt werden:
[mm] $=\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{-x-4}{x^2+2x+4}$
[/mm]
und dieser Grenzwert lässt sich nun einfach bestimmen.
"Meine" Lösung wäre dann allerdings in meinen Augen ein klarer ist also kein Fall für l'Hospital...
> Und nun?
> Wir haben heute ewig gesessen und rumgerätselt.
> Denn wenn ich jetzt davon den Grenzwert bestimme erhalte
> ich einen Grenzwert von -1. Das ist doch aber nicht mein
> Grenzwert?! Oder?
Wenn ich Deine Lösung aufgreife, so ist der Grenzwert doch recht eindeutig:
Der Nenner geht gegen Null, der Zähler hingegen gegen -16. Also geht der ganze Bruch gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
> Wie gesagt hatte ich beim Einsetzen den GW -0,5 raus.
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Funky24 |
Hy..
..dies wäre die Lösung, wenn gesucht wäre x->unendlich....
...da aber x->2 gesucht ist, kommt da -0,5 raus...
...bekommt man durch Annäherung von links und von rechts heraus oder durch probieren...
Tschau Friederike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Sa 10.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Friederike
> ..dies wäre die Lösung, wenn gesucht wäre
> x->unendlich....
> ...da aber x->2 gesucht ist, kommt da -0,5 raus...
Nö. Für den genannten Ausdruck
[mm]\limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{-x^3-4}{8-x^3}\right)[/mm] , von dem in dem Zusammenhang die Rede war,
ist der Grenzwert [mm] $\pm\infty$ [/mm] - je nachdem ob rechtsseitig oder linksseitig.
Aber dieser Bruch hat sich ja ohnehin als unzutreffend herausgestellt.
Allerdings hatte ich natürlich unrecht, dass "mein" Bruch nicht zu kürzen sei, ich war nur "zu blöd", eine Polynomdivision korrekt durchzuführen ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") , aber das habe ich jetzt korrigiert...
Schöne Grüße,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
Hallöchen!
Habe meinen Fehler in der Umformung schon entdeckt.
Jetzt kommt nur mein nächstes Problem:
Wir haben in der Vorlesung L'Hospital noch nicht gezeigt.
Wir sind gerade mal bei Stetigkeit und wir dürfen für die Lösung der Übungszettel keine Sätze verwenden die wir noch nicht in der Vorlesung hatten!
Das kommt wahrscheilnlich dabei raus wenn sich der Verfasser der ÜZ nicht mit dem Prof kurzschließt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Trine22 |
Könnte mir denn jemand sagen wie der Satz von L'Hospital erklären?
Vielleicht an einem Kleinen Beispiel?
Das wäre total lieb, verstehe die Def. im Buch nicht wirklich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Trine
Der Satz sagt, wenn man die Ableitung des Zählers durch die Ableitung des Nenners dividiert, bekommt man denselben GW wie bei den Fkt selbst, Wenn der GW existiert.
Er beruht darauf, dass man die Funktionen an einem Punkt durch ihre Tangenten beliebig gut approximieren kann, wenn man nahe genug an dem Punkt ist. Und dann dividiert man statt der Funktionen ihre Tangenten, da sie durch denselben Pkt gehen also der Quotient der Steigungen:
[mm] $\limes_{x\rightarrowx_0} f'(x_0)*(x-x_0)=f(x) [/mm] $
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
L'Hopital ist hier überflüssig,
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Fr 09.06.2006 | | Autor: | leduart |
hallo Trine
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2}\left ( \bruch{1}{2-x} - \bruch{12}{8-x^3}\right[/mm]
Du kannst [mm] \bruch{1}{2-x} [/mm] ausklammern, dann bleibt [mm] \bruch{x^2+2x-8}{x^2+2x+4} [/mm] Der Zähler hat die Nullstelle 2, man kann also auch da 2-x ausklammern! Bei deinem auf den HN bringen nusst du einen Fehler haben, denn wenn dus richtig machst muss der Zähler durch 2-x teilbar sein.
Bei so Aufgaben, die einen endlichen GW haben läuft das immer so, dass man kürzen kann!
Gruss leduart
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