Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 So 05.02.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) [mm] \lim_{n \to \infty}\left( 1+ \bruch{1}{n}\right)^\bruch{n}{2}[/mm]
(b) [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{\wurzel[3]{n^2}}{n+1}[/mm]
(c) [mm] \lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n + 3*n}[/mm] |
Ich glaube(hoffe) zwei der Aufgaben gelöst zu haben.
Ich wäre sehr dankbar wenn ihr da mal kurz drüberschauen könntet und mir vielleicht einen kleinen Denkanstoß für die noch verbliebene gebt.
zu (a):
[mm] \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \bruch{1}{n}\right)^\bruch{n}{2} = \lim_{n \to \infty} \wurzel[2]{\left( 1 + \bruch{1}{n}\right) ^ n} [/mm]
Habe irgendwo aufgeschnappt das mit n gegen Unendlich,
[mm] \left( 1 + \bruch{1}{n}\right) ^ n = e [/mm] ist.
Also [mm] \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \bruch{1}{n}\right) ^\bruch{n}{2}= \wurzel[2]{e} [/mm] ?????
zu (c):
[mm] \lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n + 3*n}
3^n \le (3^n + 3*n) \le 3*3^n
\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n} = 3 [/mm]
und [mm]
\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3*3^n}
= \lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3} * \wurzel[n]{3^n}
= \lim_{n \to \infty} 1 * 3 = 3 [/mm]
Somit wäre[mm] \lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{3^n + 3*n} [/mm] zwischen 3 und 3 also 3 ????????
Wie gesagt es wäre nett wenn da jemand mal kurz drüber schauen könnte und mir gegebenenfalls den Fehler verrät.
Bei Aufgabenteil (b) weiß ich gar nicht weiter.
Ich habe es mit Umstellen versucht aber nie ein "brauchbares" Eergebniss erhalten.
Hat da jemand vielleicht einen Tip in welche Richtung ich "rechnen" muss?
PS: Ich habe angegeben das ich nach 4 Tagen nicht mehr an der Lösung interessiert bin. Also es ist schon so das ich mir bis dahin eine Antwort wünschen würde aber ich bin natürlich auch nach Donnerstag noch an Hilfestellung interessiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Dally |
Hi, vielen Dank erstmal für die schnelle Atwort.
Aber ich verstehe das noch nicht ganz.
Ich habe versucht da mit n ausklammern etwas rumzurechnen komme aber zu keinem Ergebniss was mir weiterhilft.
[mm]
\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[3]{n^2}
}{n + 1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ n^ \bruch{2}{3}} {n*(1 + \bruch{1}{n})}
= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ n*n^{ - \bruch{1}{3}}} {n*(1 + \bruch{1}{n})} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{ - \bruch{1}{3}}} {(1 + \bruch{1}{n})}
= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1 + \bruch{1}{n})*n^{\bruch{1}{3}}}
= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(n^{\bruch{1}{3}} + \bruch{{n (\bruch{1}{3})} }{n})}
[/mm]
Mfg
Dally
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dally!
Da warst Du doch auf einem sehr guten Weg ...
$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[3]{n^2}}{n + 1}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ n^ \bruch{2}{3}} {n*(1 + \bruch{1}{n})} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ n*n^{ - \bruch{1}{3}}} {n*\left(1 + \bruch{1}{n}\right)}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{ - \bruch{1}{3}}} {1 + \bruch{1}{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n^{\bruch{1}{3}}}}{1 + \bruch{1}{n}}} \ = \ ...$
Und nun die Grenzwertbetrachtung ...
$... \ = \ \bruch{0}{1+0} \ = \ \bruch{0}{1} \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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!!
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Richtig!
