Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 06.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo alle zusammen!
ich soll bei folgenden aufgaben den grenzwert bestimmen und mit einer rechnung darstellen, wie ich darauf komme (hab hier aber nur die beispiele aufgeschrieben, bei denen ich mir nicht ganz so sicher bin):
[mm] a_{n}=(1-1/ (n^{2}) [/mm] ^{n} also ich denke diese folge konvergiert gegen 1. kann ich das jetzt mit der bernoullischen ungleichung machen oder wie stell ich das sonst an?
[mm] a_{n}= [/mm] n!^{1/n} strebt meiner meinung nach gegen unendlich, also liegt hier bestimmte divergenz vor.
ich hab das jetzt auseinandergenommen zu [mm] 1^{1/n}*2^{1/n}*3^{1/n}*...*n^{1/n} [/mm] ich weiß jetzt nicht ganz weiter... vielleicht kann man hier den sandwich-satz anwenden?
danke schon mal im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 06.11.2005 | | Autor: | Franzie |
also das erste beispiel ist mir noch nicht ganz klar.
also zu zeigen ist
[mm] a_{n}=(1-1/(n^{2})^{n} \to [/mm] 1
also die sache mit dem limes und der dritten binomischen formel, wie du es meinst, haben wir so noch nicht gehört, wir hatten lediglich
[mm] (1+1/n)^{n} \to [/mm] e
kann ich das vielleicht irgendwie einbauen, indem ich eventuell meine folge zerlege in
[mm] [(1-1/n)*(1+1/n)]^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Schau dir den Beweis von
[mm] $\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \to [/mm] e$
noch einmal in Ruhe an. Ganz ähnlich kannst du nämlich zeigen, dass auch
[mm] $\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to \frac{1}{e}$
[/mm]
gilt.
So, und nun hast du, wie Loddar meinte, mit Hilfe der 3. Binomischen Formel und den Grenzwertsätzen
[mm] $\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n [/mm] = [mm] \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \to [/mm] e [mm] \cdot \frac{1}{e} [/mm] =1$.
Liebe Grüße
Stefan
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Das stimmt nicht ...
