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Wie kann ich zeigen, dass für n [mm] \to \infty [/mm]
[mm] \bruch{1+2+...+n}{n²} \to \bruch{1}{2}; [/mm]
[mm] \bruch{1²+2²+...+n²}{n³} \to \bruch{1}{3} [/mm] und
[mm] \bruch{1³+2³+...+n³}{n^{4}} \to \bruch{1}{4}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 18.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo nixblicker
das kannst du einfach, indem du die bekannten Formeln im Zähler einsetzt, dort in jeder Klammer das n ausklammerst, den Bruch kürzt und dann den Grenzübertritt durchführst.
Es gilt ja:
[mm] $1+2+3+...+n=\bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
[mm] $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\bruch{n^2(n+1)^2}{4}$
[/mm]
Ich führe es an der 2. Aufgabe einmal vor:
[mm] $\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$
[/mm]
Jetzt also bei allen Klammern ein $n_$ ausklammern:
[mm] $\bruch{n*n(1+\bruch{1}{n})*n(2+\bruch{1}{n})}{6n^3}=\bruch{n^3(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})}{6n^3}=$
[/mm]
Und nun Kürzen:
[mm] $\bruch{n^3(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})}{6n^3}=\bruch{(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})}{6}$
[/mm]
Dann den Grenzübertritt vollziehen:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\bruch{(1+\bruch{1}{n})(2+\bruch{1}{n})}{6}=\bruch{\lim_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{n})*\lim_{n \to \infty}(2+\bruch{1}{n})}{6}=\bruch{1*2}{6}=\bruch{1}{3}$
[/mm]
Ich denke und hoffe, dass du nun die anderen beiden Aufgaben auch hinbekommst. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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