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| Aufgabe | | Falls [mm] a_n\sin(nx) [/mm] Nullfolge für alle [mm] x\in [/mm] [0,1] so ist auch [mm] a_n [/mm] Nullfolge. |
Meine Idee wäre auszunutzen, dass für [mm] x=\bruch{\pi}{4} [/mm] schon mal folgt, dass für alle Teilfolgen [mm] n_k\subset \IN \setminus 4\IN [/mm] die Folgen [mm] a_{n_k} [/mm] Nullfolgen sind, da [mm] |\sin(xn_k)|>\bruch{1}{2}. [/mm] Mittels [mm] x=\bruch{\pi}{4 l} [/mm] könnte man die Aussage weiter verstärken, jedoch sehe ich nicht wie ich das ganze für die Folge [mm] a_n [/mm] selbst zeigen kann.
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Abend,
Kann es sein, dass die Aufgabenstellung fehlerhaft ist?
Zunächst meine Idee:
Wenn b=sin(nx) mit [mm] x\in(0,1], [/mm] dann ist [mm] b\in(0,1). [/mm] Wenn nun also [mm] a_n*sin(nx) [/mm] eine Nullfolge ist, dann folgt daraus aufgrund der Grenzwertsätze: [mm] a_n*b=0, [/mm] wenn [mm] a_n=0
[/mm]
Darf man diese benutzen?
Nun soll aber laut Aufgabenstellung x=0 zugelassen sein. Dann könnte man aber auch z.B. [mm] a_n=3 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] wählen, weil sin(nx)=0. Also wäre [mm] a_n [/mm] keine Nullfolge.
Ich möchte die Antwort eigentlich als Teilantwort posten, aber ich finde die Möglichkeit nicht.
Ich muss dir ehrlich sagen, dass ich mich bzgl dieser Aufgabe unsicher fühle. Wollte aber gerne meinen Send hinzugeben. Vielleicht hilft es ja ein bisschen.
Es wäre sicherlich günstig, wenn du die Frage, falls die Antwort nicht genügt, erneut als offen stellst.
Schönen Abend, schönes Wochenende!
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:05 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Helbig |
Gleichbedeutend ist die Aussage:
Es gibt keine streng wachsende Folge [mm] $(n_k)_{k\in\IN} [/mm] $ natürlicher Zahlen mit
[mm] $\lim_{k\to\infty} \sin [/mm] n_kx = 0$ für alle [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Dies beweisen wir durch Widerspruch:
Angenommen [mm] $(n_k)_k$ [/mm] wäre so eine Folge. Dann gilt für jedes [mm] $q\in \IN, q\ge [/mm] 4$
[mm] $\lim_{k\to\infty} \sin n_k\frac \pi [/mm] q = 0$.
Hieraus folgt: [mm] $n_k\in q*\IN$ [/mm] für fast alle [mm] $k\in \IN$.
[/mm]
Diese Bedingung gilt nun für jedes [mm] $q\ge [/mm] 4$ und dies halte ich für unmöglich, allerdings ohne eine Begründung dafür zu haben.
Na, ja, vielleicht doch: Insgesamt folgt, daß für fast alle $k$ die [mm] $n_k$ [/mm] Vielfache aller Primzahlen sind. Aber es gibt nicht einmal ein Vielfaches aller Primzahlen.
Dies ist tatsächlich kein Widerspruch: Setze [mm] $n_k=k!$. [/mm] Schade.
Gruß,
Wolfgang
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