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| Aufgabe | Man sagt, x > 0 ist die n-te Wurzel von y > 0 (in Formeln x = [mm] n\wurzel{y} [/mm] = [mm] y^\bruch{1}{n}), [/mm] wenn [mm] x^n [/mm] = y gilt. Die n-te Wurzel einer positiven Zahl ist eindeutig bestimmt.
Man beweiße [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n\wurzel{n} [/mm] = 1 //Soll die n-te Wurzel sein
Tipp:indem man auf der rechten Seite der Gleichung n = [1 + [mm] (n\wurzel{n} [/mm] -1 [mm] )]^n
[/mm]
den binomischen Lehrsatz anwendet und dann geschickt abschätzt. |
Ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich hierbei Anfangen muss. Dass was ich weiß ist, dass meine Aufgabe eine Art "Rechenregel" für Grenzwerte ist...
Desweiteren weiß ich nicht wie ich den Binomischen Lehrsatz anwenden soll bzw auf was anwenden... außerdem war der doch
Quelle Wikipedia: [mm] (x+y)^n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} [/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
mfg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
nur mal kurz zur Schreibweise, weil es so weh tut, wenn man es lesen muss:
Es heißt "Beweis" und "beweisen" !
Du willst doch nix weiß anstreichen ...
Gruß
schachuzipus
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haha ach richtig....tut leid :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] a_n:= \wurzel[n]{n}-1
[/mm]
Dann ist
$ [mm] n=(1+a_n)^n= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a_n^{k} \ge \binom{n}{2} a_n^2$
[/mm]
Zeige damit, dass [mm] (a_n^2) [/mm] eine Nullfolge ist. Daraus folgt dann , dass [mm] (a_n) [/mm] auch eine solche ist.
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:04 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Steffen2361 |
folgt aus $ [mm] a_n:= \wurzel[n]{n}-1 [/mm] $
gleich dies?:
[mm] a_{n}² [/mm] = [mm] (\wurzel[n]{n}-1)^2
[/mm]
bzw. falls das richtig ist, soll ich nun daraus zeigen, dass es gegen 0 konvertiert oder?
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> folgt aus [mm]a_n:= \wurzel[n]{n}-1[/mm]
>
> gleich dies?:
> [mm]a_{n}²[/mm] = [mm](\wurzel[n]{n}-1)^2[/mm]
Was soll das ? Das ist doch trivial !
Ich hab Dir gezeigt:
$ [mm] n\ge \binom{n}{2} a_n^2 [/mm] $
Daraus sollst Du folgern , dass [mm] (a_n^2) [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
>
> bzw. falls das richtig ist, soll ich nun daraus zeigen,
> dass es gegen 0 konvertiert oder?
>
> mfg
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| Aufgabe | Ich hab Dir gezeigt:
$ [mm] n\ge \binom{n}{2} a_n^2 [/mm] $
Daraus sollst Du folgern , dass $ [mm] (a_n^2) [/mm] $ eine Nullfolge ist.
FRED |
hmm ok
Ich weiß, dass wenn im Binomialkoeffizienten n<k steht ist er 0
Bringt zwar bei unserem Beispiel wahrscheinlich nichts....
Dass es eine Nullfolge ist muss ich zeigen, dass es monoton, beschränkt und den Grenzwert bei 0 hat. Stimmt doch oder?
mfg
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> Ich hab Dir gezeigt:
>
> [mm]n\ge \binom{n}{2} a_n^2[/mm]
>
> Daraus sollst Du folgern , dass [mm](a_n^2)[/mm] eine Nullfolge
> ist.
> Ich weiß, dass wenn im Binomialkoeffizienten n<k steht ist er 0
Und es gilt [mm] \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.
[/mm]
Nun verwende dies, um die Nullfolge zu zeigen.
LG
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| Aufgabe | Und es gilt $ [mm] \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. [/mm] $
Nun verwende dies, um die Nullfolge zu zeigen.
LG |
Ich weiß nicht ob das möglich ist aber:
$ [mm] n\ge \binom{n}{2} a_n^2 [/mm] $
umgeformt ergibt:
$ [mm] 0\ge \binom{n}{2} \bruch{a_n^2}{n} [/mm] $
nun folgt:
$ [mm] \binom{n}{2} \bruch{a_n^2}{n} \ge \bruch{a_n^2}{n} [/mm] $
und zum Schluss:
$ [mm] \bruch{a_n^2}{n} \ge \bruch{a_n}{n} [/mm] $
und [mm] \bruch{a_n}{n} [/mm] ist doch eine Nullfolge oder hmmm
Ich kann erst ab 21h weitermachen
mfg
Danke für alles :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Und es gilt [mm]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.[/mm]
> Nun verwende dies, um die Nullfolge zu zeigen.
>
> LG
> Ich weiß nicht ob das möglich ist aber:
>
> [mm]n\ge \binom{n}{2} a_n^2[/mm]
>
> umgeformt ergibt:
>
> [mm]0\ge \binom{n}{2} \bruch{a_n^2}{n} [/mm]
>
> nun folgt:
>
> [mm]\binom{n}{2} \bruch{a_n^2}{n} \ge \bruch{a_n^2}{n}[/mm]
>
> und zum Schluss:
>
> [mm]\bruch{a_n^2}{n} \ge \bruch{a_n}{n}[/mm]
>
> und [mm]\bruch{a_n}{n}[/mm] ist doch eine Nullfolge oder hmmm
>
> Ich kann erst ab 21h weitermachen
>
> mfg
> Danke für alles :)
>
Aus meiner Steilvorlage folgt:
0 [mm] \le a_n^2 \le \bruch{2}{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
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Hey,
Wäre denn meine"Beweisvariante" auch ok gewesen?
Mfg
Danke für eure hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Nein.
FRED
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Ok alles klar dann hätt eich noch eine Frage und zwar wie Sie auf dies Umformung kommen:
Original von kamaleonti
Und es gilt $ [mm] \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}. [/mm] $
wenn ich den Binomialkoeffizient hernehme
[mm] \binom{n}{k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} [/mm]
Eingesetz mit meinem Beispiel
[mm] \binom{n}{2} [/mm] = [mm] \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} [/mm]
Umgeformt mittels (n+1)! := (n+1)n!
[mm] \frac{n!}{2 \cdot (n-2)n!} [/mm] // hier kürze ich nun n! weg
[mm] \frac{1}{2 \cdot (n-2)} [/mm]
Zurück bei meinem Beispiel bleibt
n= [mm] \frac{1}{2 \cdot (n-2)} a_n^2
[/mm]
aber hier komme ich nicht weiter.....
mfg
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> Ok alles klar dann hätt eich noch eine Frage und zwar wie
> Sie auf dies Umformung kommen:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du kannst hier übrigens ruhig alle duzen.
>
> Original von kamaleonti
> Und es gilt [mm]\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.[/mm]
>
> wenn ich den Binomialkoeffizient hernehme
>
> [mm]\binom{n}{k}[/mm] = [mm]\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}[/mm]
>
> Eingesetz mit meinem Beispiel
>
> [mm]\binom{n}{2}[/mm] = [mm]\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}[/mm]
Soweit ist das richtig.
Nun besinne Dich mal, was n! bedeutet, dann brauchst Du Dir für Umformungen auch keine Formeln zu merken:
n!=1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n
(n-1)!=1*2*3*...*(n-3)*(n-2)*(n-1)
(n+2)!=1*2*3*...*n*(n+1)*(n+2)
(n-2)!=1*2*3*...*(n-4)(n-3)*(n-2)
usw.
>
> Umgeformt mittels (n+1)! := (n+1)n!
Dies stimmt, wie Du oben sehen kannst.
>
[mm] $\binom{n}{2}$ [/mm] = [mm] $\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}$ [/mm] =
> [mm]\frac{n!}{2 \cdot (n-2)n!}[/mm]
Das ist falsch!
Das n! hat im Nenner nichts zu suchen.
(n-2)! bedeutet doch, daß alle Zahlen von 1 bis (n-2) miteinander multipliziert werden.
Ausführlich
[mm] $\binom{n}{2}$ [/mm] = [mm] $\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}$ =\bruch{1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n}{2* 1*2*3*...*(n-3)*(n-2)}.
[/mm]
Nun kürze!
Gruß v. Angela
// hier kürze ich nun n! weg
>
> [mm]\frac{1}{2 \cdot (n-2)}[/mm]
>
> Zurück bei meinem Beispiel bleibt
>
> n= [mm]\frac{1}{2 \cdot (n-2)} a_n^2[/mm]
>
> aber hier komme ich nicht weiter.....
>
> mfg
>
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haha ach richtig....:)
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Original von angela.h.b.
Ausführlich
$ [mm] \binom{n}{2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} [/mm] $ $ [mm] =\bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)\cdot{}(n-1)\cdot{}n}{2\cdot{} 1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-3)\cdot{}(n-2)}. [/mm] $
Nun kürze!
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Ergibt natürlich
$ [mm] \binom{n}{2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} [/mm] = [mm] \frac{n(n-1)}{2}$
[/mm]
So und nun setze ich dies in meine Gleichung ein
n [mm] \ge [/mm] $ [mm] \frac{n(n-1)}{2} a_n^2 [/mm] $ // Ich forme um
0 [mm] \ge [/mm] $ [mm] \frac{\frac{n(n-1)a_n^2}{2}} [/mm] {n} $ // Diesen Doppelbruch löse ich auf
[mm] \frac{2}{n(n-1)a_n^2} [/mm] * [mm] \frac{n}{1} [/mm] = [mm] \frac{2}{n-1} a_n^2 \ge [/mm] 0
Und jetz die Schlussfolgerung, da [mm] \frac{2}{n-1} [/mm] < 1 ist:
0 [mm] \le \frac{2}{n-1} a_n^2 \le \frac{2}{n-1}
[/mm]
Ist das nun korrekt?
mfg
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> haha ach richtig....:)
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> ----------------------------------------------------------------------
> Original von angela.h.b.
> Ausführlich
>
> [mm]\binom{n}{2}[/mm] = [mm]\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}[/mm]
> [mm]=\bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-2)\cdot{}(n-1)\cdot{}n}{2\cdot{} 1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}(n-3)\cdot{}(n-2)}.[/mm]
>
> Nun kürze!
> -------------------------------------------------------------------------------
>
> Ergibt natürlich
> [mm]\binom{n}{2}[/mm] = [mm]\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}[/mm]
>
> So und nun setze ich dies in meine Gleichung ein
>
> n [mm]\ge[/mm] [mm]\frac{n(n-1)}{2} a_n^2[/mm] // Ich forme um
>
> 0 [mm]\ge[/mm] [mm]\frac{\frac{n(n-1)a_n^2}{2}} {n}[/mm] // Diesen
> Doppelbruch löse ich auf
> [mm]\frac{2}{n(n-1)a_n^2}[/mm] * [mm]\frac{n}{1}[/mm] = [mm]\frac{2}{n-1} a_n^2 \ge[/mm]
> 0
>
> Und jetz die Schlussfolgerung, da [mm]\frac{2}{n-1}[/mm] < 1 ist:
>
> 0 [mm]\le \frac{2}{n-1} a_n^2 \le \frac{2}{n-1}[/mm]
>
> Ist das nun korrekt?
Nein. Das ist alles ein riesiges und chaotisches Durcheinander !!
Wir hatten:
$n [mm] \ge \bruch{n(n-1)}{2}a_n^2$
[/mm]
Wir kürzen n und erhalten:
$1 [mm] \ge \bruch{n-1}{2}a_n^2$
[/mm]
Wir mult. mit 2 und teilen durch n-1 ( ab hier muß natürlich n [mm] \ge [/mm] 2 sein).
[mm] $\bruch{2}{n-1} \ge a_n^2$
[/mm]
Wars so schwer ?
FRED
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> mfg
> Danke
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Ach ich bin ein Idiot....man kann ja eh auf beiden Seiten der Ungleichung kürzen..
Danke dir :)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Mo 21.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo Steffen,
bitte stelle Fragen, auf die du eine Antwort erhalten hast nicht wieder auf unbeantwortet. Das wirkt unhöflich gegenüber denjenigen, die dir Hilfe gegeben haben.
Wenn es Unklarheiten gibt, dann stelle einfach eine neue Frage.
LG
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Tut mir leid ich bin erst seit ein paar Stunden in diesem Forum vertreten und dachte, falls mir eine Antwort gegeben wurde, dass der Thread praktisch geschlossen wurde...
Kommt nicht mehr vor :)
mfg
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