Grenzwertbeweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] sei gegeben mit [mm] a_{n} [/mm] > 0 und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ a_{n+1}}{ a_{n}}= [/mm] q
Zu zeigen ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] = q
kann ich dann sagen
Für n [mm] \to \infty [/mm] gilt [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] * q = [mm] a_{n-1} [/mm] * q² = [mm] q^{n+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n} \to q^{n} [/mm] für n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] = q
oder muss ich das doch anders zeigen?
Die Frage hab ich sonst nirgends gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Mo 15.11.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo [mm] Rahul_N,
[/mm]
leider hakt der Beweis schon am Anfang, Du weisst
lediglich, dass die Folge [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] für n
gegen unendlich gegen q konvergiert, daraus kannst
Du nicht ableiten, dass für alle n gilt [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n*q$.
[/mm]
Für große n gilt das vielleicht näherungsweise, aber mehr
kannst Du damit erstmal nicht sagen.
Ausserdem solltest Du ein paar Folgerungen mehr
auskommentieren, die HiWis wollen auch sehen, warum
Du da einen Folgerungspfeil gemacht hast, nicht nur,
dass Du das Zeichen im richtigen Kontext verwenden
kannst ^^
Du hattest aber lediglich nach der Schreibweise gefragt,
ich tue jetzt also mal so, als wäre der Ansatz richtig.
Dann wäre der Beweis mit vollständiger Induktion am
mathematischsten, glaube ich:
Behauptung: [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] q^n$
[/mm]
Induktionsanfang:
Sei n = 0
(oder n = 1, je nachdem, wo die Folge anfängt).
[mm] $a_0 [/mm] = 1$ korrekt
(hier hast Du in Deiner realen Aufgabe aber keinen Startwert,
mit dem Du das verifizieren könntest)
Induktionsvoraussetzung:
Gelte die Behauptung für ein $n [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Induktionsschritt:
Es ist [mm] $a_{n+1}$ [/mm] nach Voraussetzung [mm] $q*a_n$, [/mm] also gilt:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] q*a_n \underbrace{=}_{I.V.} q*q^n [/mm] = [mm] q^{n+1}$
[/mm]
Damit wurde die Behauptung mit vollständiger Induktion nach
n gezeigt.
Nun folgt automatisch für die zweite Folge:
[mm] $\wurzel[n]{a_n} [/mm] = q$ für alle $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] und deswegen:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] q = q$
(Hier hättest Du auch die Stetigkeit der Wurzel ausnutzen
können und sagen:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\limes_{n \to \infty} {a_n}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{q^{n}} [/mm] = q$)
Aber wie gesagt, das geht hier leider so nicht.
greetz
AT-Colt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Rahul_N |
Bis auf endlich viele ausnahmen gilt:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le [/mm] (q + [mm] \varepsilon)
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \ge [/mm] (q - [mm] \varepsilon)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_{n+1} \le [/mm] (q + [mm] \varepsilon)*a_{n}
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] a_{n+1} \ge [/mm] (q - [mm] \varepsilon)*a_{n}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_{n+z} \le [/mm] (q + [mm] \varepsilon)^{z}*a_{n}
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] a_{n+z} \ge [/mm] (q - [mm] \varepsilon)^{z}*a_{n}
[/mm]
Man ziehe die (n+z)te Wurzel
[mm] \wurzel[n+z]{a_{n+z}} \le \wurzel[n+z]{(q + \varepsilon)^{z}*a_{n}}
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] \wurzel[n+z]{a_{n+z}} \ge \wurzel[n+z]{(q - \varepsilon)^{z}*a_{n}}
[/mm]
[mm] \wurzel[n+z]{(q + \varepsilon)^{z}*a_{n}} [/mm] = (q + [mm] \varepsilon)^{ \bruch{z}{n+z}} [/mm] * [mm] a_{n}^{\bruch{1}{n+z}}
[/mm]
(wobei n eine konstante ist und z der variable Term)
der limes vom ganzen für z --> [mm] \infty [/mm] ist ja (q + [mm] \varepsilon) [/mm] (wegen Permanenzregel etc)
Es gilt also:
(q + [mm] \varepsilon) \ge \wurzel[n+z]{a_{n+z}} \ge [/mm] (q - [mm] \varepsilon) [/mm]
Da Epsilon beliebig klein sein kann ist
der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n+z]{a_{n+z}} [/mm] ebenfalls q
|
|
|
|
).
