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Grenzwertbeweis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Do 29.12.2005
Autor: Doreen

Aufgabe
Für k, n [mm] \in \IN [/mm] bezeichne [mm] c_{n,k} [/mm] := k(1-(1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}). [/mm]
Zeigen Sie:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = k

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = n.


Hallo an alle...

Der erste Grenzwert ist klar, da komme ich auch rauf...

zumindest denke ich, dass ich es richtig bewiesen habe...
aber stimmt es auch?

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n,k} [/mm] = k

[mm] c_{n,k} [/mm] := k(1-(1- [mm] \bruch{1}{k})^{n}). [/mm]

n geht gegen unendlich

[mm] \bruch{1}{k} \le [/mm] 1

(1- [mm] \bruch{1}{k}) \le [/mm] 1 und [mm] \ge [/mm] 0

(1- (1- [mm] \bruch{1}{k})^{n})) [/mm]

1 - [0,1] [mm] \le [/mm] 1

k * (1- (1- [mm] \bruch{1}{k})^{n})) [/mm]

= k

Ich weiß, mathematisch und unigerecht wiedermal bescheiden aufgeschrieben...  wie macht man es richtig? Langt das so?

Mit dem Grenzwert k gegen unendlich Grenzwert = n

da komme ich mit diesem System nicht rauf... ich hoffe, mir
kann da jemand einen Weg zeigen, wie man das macht.

Vielen Dank für Hilfe im Voraus

Gruß
Doreen

Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt





        
Bezug
Grenzwertbeweis: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Doreen!


Bei der ersten Teilaufgabe reicht es ja aus, mit den Grenzwertsätzen vorzugehen.

Schließlich gilt für die "innere Folge" [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n [/mm] \ = \ 0$, da [mm] $1-\bruch{1}{k} [/mm] \ < \ 1 \ \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] k\in\IN$ [/mm]
(Stichwort: geometrische Folge)


Damit wird:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}k*\left[1-\blue{\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] k*[1-\blue{0}] [/mm] \ = \ k*1 \ = \ k$


Die andere Teilaufgabe ist etwas komplizierter. Hier schreiben wir den Folgen ausdruck [mm] $c_{n,k}$ [/mm] zunächst etwas um:

[mm] $c_{n,k} [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\left(1-\bruch{1}{k}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\left(\bruch{k-1}{k}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\left[1-\bruch{(k-1)^n}{k^n}\right] [/mm] \ = \ [mm] k*\bruch{k^n-(k-1)^n}{k^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k^n-(k-1)^n}{k^{n-1}}$ [/mm]

Und nun musst Du $n_$-mal den MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwertbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:14 Fr 30.12.2005
Autor: Doreen

Hallo,

auch hier vielen Dank für die Hinweise...

Jetzt muss ich aber trotzdem was fragen...

gibt es noch einen anderen Weg als den l'Hospital? Denn den
haben wir noch nicht in der Uni eingeführt...
Genausowenig wie die binomische Reihe...

Vielen Dank für Hilfe und Antwort.
Gruß Doreen

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbeweis: sehe keine Alternative
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Fr 30.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Doreen!


Ich sehe leider keine Alternative zu dien beiden genannten Wegen.

Schließlich müssen wir ja irgendwie dieses $n_$ aus dem Exponenten herunterbekommen.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Grenzwertbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Do 29.12.2005
Autor: Julius

Hallo!

Alternativ (und schneller) kannst du bei der zweiten Aufgabe mit der Binomischen Reihe arbeiten:

$k [mm] \cdot \left( 1 - \left(1 - \frac{1}{k} \right)^n \right) [/mm] = k [mm] \cdot \left( \sum\limits_{j=1}^n {n \choose j} \frac{(-1)^{j+1}}{k^j} \right)$. [/mm]

Offenbar trägt nur der Summand für $j=1$ etwas zum Grenzwert bei...

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbeweis: Sehr schön ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Do 29.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Julius!


Danke für diesen Nachtrag. Mein Ansatz kam mir schon selber etwas sehr umständlich vor (sollte aber auch zum Ziel führen ;-) ...).

Aber schon etwas "heimtückisch", die ganzen Zwischenschritte wegzulassen [grins] .


Gruß
Loddar


Bezug
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