Grenzwertbetrachtung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Fr 28.12.2012 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
ich betrachte folgendes Problem. Es sei [mm] $f:\IR_+ \rightarrow \IR_+$ [/mm] eine monoton wachsende Funktion. Ferner sei [mm] $g(x):=\inf \{ f(t) : t > x \}$.
[/mm]
Ich möchte nun zeigen, dass
[mm] $\lim_{h \downarrow x} [/mm] g(h) = g(x).$
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Dank vorab, Dester
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Hallo,
über die Stetigkeit von f hast du nichts gesagt. IMO müsste f aber stetig sein, damit die Aussage stimmt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Fr 28.12.2012 | | Autor: | DesterX |
Danke für die Antwort, aber: nein, die Funktion f muss nicht stetig sein, lediglich monoton wachsend.
Ich möchte ja auch nicht zeigen, dass die Funktion g stetig ist, sondern lediglich die rechtsseitige Stetigkeit von g. Auf Bildchen ist dies recht klar, aber ein sauberer Beweis will mir leider nicht gelingen
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Hallo Dester,
Klar ist sofort, dass [mm] \ge [/mm] gilt.
Also reicht es aus [mm] \le [/mm] zu zeigen.
Dazu:
Wie ist das Infimum denn definiert?
Schreibe das mal hin, dann steht [mm] \le [/mm] eigentlich auch sofort da.
edit: Und weil es so schön ist, gleich noch ein Einzeiler hinterher:
Die g(h) bilden für [mm] $h\to [/mm] x$ eine monoton fallende Folge, die nach unten durch ihr Infimum g(x) beschränkt ist => $g(h) [mm] \to [/mm] g(x)$ für [mm] $h\to [/mm] x$
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 28.12.2012 | | Autor: | DesterX |
Ich kann deiner Argumentation leider nicht ganz folgen. Was ist nun [mm] "$\leq$" [/mm] bzw [mm] "$\geq$" [/mm] und was daraus folgen?
Würde mich freuen, wenn du das nochmal genauer erläuterst.
Vermutlich meintest du mit $ g(h) [mm] \to [/mm] g(x) $ für $ [mm] h\to [/mm] x $ gerade nur solche h mit $h > x$ oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich muss gleich weg, daher nur kurz:
> Ich kann deiner Argumentation leider nicht ganz folgen. Was
> ist nun "[mm]\leq[/mm]" bzw "[mm]\geq[/mm]" und was daraus folgen?
Du willst
[mm] $$\lim_{h \downarrow x} [/mm] g(h) [mm] =g(x):=\inf \{ f(t) : t > x \}$$
[/mm]
beweisen, und eine Gleichheit [mm] $a=b\,$ [/mm] kann man zeigen, indem $a [mm] \ge [/mm] b$
UND $a [mm] \le [/mm] b$ beweist.
Das meinte Gono!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Fr 28.12.2012 | | Autor: | DesterX |
>
> Du willst
> [mm]\lim_{h \downarrow x} g(h) =g(x):=\inf \{ f(t) : t > x \}[/mm]
>
> beweisen, und eine Gleichheit [mm]a=b\,[/mm] kann man zeigen, indem
> [mm]a \ge b[/mm]
> UND [mm]a \le b[/mm] beweist.
>
> Das meinte Gono!
>
> Gruß,
> Marcel
Okay, danke. $g(h) [mm] \geq [/mm] g(x)$ für alle $h > x$ ist mir klar.
Jedoch warum soll [mm] $\lim_{h \downarrow x} [/mm] g(h) [mm] \leq [/mm] g(x)$ gelten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dester,
>
> >
> > Du willst
> > [mm]\lim_{h \downarrow x} g(h) =g(x):=\inf \{ f(t) : t > x \}[/mm]
>
> >
> > beweisen, und eine Gleichheit [mm]a=b\,[/mm] kann man zeigen, indem
> > [mm]a \ge b[/mm]
> > UND [mm]a \le b[/mm] beweist.
> >
> > Das meinte Gono!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Okay, danke. [mm]g(h) \geq g(x)[/mm] für alle [mm]h > x[/mm] ist mir klar.
und damit ist dann auch [mm] $\lim_{h \downarrow x}g(h) \geq [/mm] g(x)$ klar.
> Jedoch warum soll [mm]\lim_{h \downarrow x} g(h) \leq g(x)[/mm]
> gelten?
Im Prinzip kannst Du das so beweisen, dass Du annimmst, das Gegenteil
wäre der Fall, d.h., es wäre der Limes linkerhand $> [mm] g(x)\,$ [/mm] und führst das
dann zum Widerspruch.
Also angenommen, es wäre für [mm] $L(x):=\lim_{h \downarrow x}g(h)$ [/mm] nun $L(x) > [mm] g(x)\,.$ [/mm] Dann gibt
es eine Folge [mm] $(h_n)_n$ [/mm] mit $x < [mm] h_n \to [/mm] x$ und [mm] $g(h_n) \to L(x)\,.$ [/mm] Klar ist, dass
[mm] $(g(h_n))_n$ [/mm] monoton fallend ist, weil [mm] $\inf [/mm] A [mm] \le \inf [/mm] B$ für $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gilt.
Die Folge [mm] $(g(h_n))_n$ [/mm] ist zudem durch $L(x) > [mm] g(x)\,$ [/mm] nach unten beschränkt.
Jetzt musst Du Dir halt einen Widerspruch basteln (und ich denke, da wird
sich ein Widerspruch erzeugen lassen: Denn [mm] $g(x)\,$ [/mm] ist ja per
Definitionem [mm] $\inf\{f(t):\;t > x\}\,,$ [/mm] und daher gibt es eine weitere
monoton fallende Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit $x < [mm] x_n \to [/mm] x$ und [mm] $f(x_n) \to [/mm] g(x)$ -
vielleicht kann man dann auch [mm] $f(x_n)$ [/mm] in Bezug zu [mm] $g(x_n)$ [/mm] setzen -
aber das weiß ich gerade nicht - so indirekt sieht's mir jedenfalls so aus,
als wenn man die Argumentation ein wenig kürzer machen kann, indem
man mit einer geeigneten Folge und dann einer Teilfolge davon
argumentiert).
Naja, wenn Du nicht weiterkommst, dann schau' ich mir das alles nochmal
schnell genauer an. Aber vielleicht reichen Dir ja schon solche Ansätze, wie
man an die Aufgabe rangehen kann!
Gruß,
Marcel
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Hiho,
falls du es direkt Beweisen willst, brauchst du die Definition des Infimums.
Was heißt es denn, dass g(x) das Infimum ist?
Daraus kannst du dann zeigen:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \lim_{h\downarrow x} [/mm] g(h) [mm] \le [/mm] g(x) + [mm] \varepsilon$
[/mm]
Mit [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ folgt dann das Gewünschte.
Aber wozu? Hatte dir doch schon einen direkten, schnellen Beweis geliefert.
Aus Analysis I weiß man:
"Jede nach unten beschränkte, monoton fallende Folge konvergiert gegen ihr Infimum."
D.h. in deinem Fall sofort $g(h) [mm] \downarrow [/mm] g(x)$.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Sa 29.12.2012 | | Autor: | DesterX |
Vielen Dank für eure Hilfe Marcel und Gonozal, ihr habt mich wirklich weitergebracht.
Aber eine Bemerkung noch zu deinem einfachen Ansatz gonozal:
"Jede nach unten beschränkte, monoton fallende Folge konvergiert gegen ihr Infimum."
in diesem Fall zu verwenden finde ich etwas zyklisch. Ich will ja gerade zeigen, dass g rechtsstetig ist.
Wenn [mm] $(h_n)_{n \in \IN} \downarrow [/mm] x$, dann weiß ich zwar, dass die Folge [mm] $(g(h_n))_{n \in \IN}$ [/mm] ebenso monoton fällt und auch dass sie konvergiert (da sie durch $g(x)$ nach unten beschränkt ist), aber wenn ich behaupte, dass $g(x)$ auch das Infimum der Folge ist, verwende ich ja bereits die Rechtsstetigkeit, die ich eigentlich zeigen will...
Viele Grüße und nochmals "Dankeschön", Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dester,
> Vielen Dank für eure Hilfe Marcel und Gonozal, ihr habt
> mich wirklich weitergebracht.
>
> Aber eine Bemerkung noch zu deinem einfachen Ansatz
> gonozal:
> "Jede nach unten beschränkte, monoton fallende Folge
> konvergiert gegen ihr Infimum."
> in diesem Fall zu verwenden finde ich etwas zyklisch. Ich
> will ja gerade zeigen, dass g rechtsstetig ist.
> Wenn [mm](h_n)_{n \in \IN} \downarrow x[/mm], dann weiß ich zwar,
> dass die Folge [mm](g(h_n))_{n \in \IN}[/mm] ebenso monoton fällt
> und auch dass sie konvergiert (da sie durch [mm]g(x)[/mm] nach unten
> beschränkt ist), aber wenn ich behaupte, dass [mm]g(x)[/mm] auch
> das Infimum der Folge ist, verwende ich ja bereits die
> Rechtsstetigkeit, die ich eigentlich zeigen will...
ich war bei Gonos Ansatz auch ein wenig irritiert, denn klar ist, dass [mm] $g(x)\,$
[/mm]
eine untere Schranke der Folge [mm] $(g(h_n))_n$ [/mm] ist - man hat zwar direkt
auch das "Bauchgefühl", dass es die größte untere Schranke ist, aber ich
denke, Gono wollte Dir den Beweis dafür noch selbst überlassen. Im
Prinzip kann man das ja genau so zeigen, wie ich es getan habe, denn aus
meiner Argumentation der letzten Antwort folgt ja, dass jede untere
Schranke [mm] $\le [/mm] g(x)$ sein muss.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 29.12.2012 | | Autor: | DesterX |
Das stimmt, dankeschön dafür nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> man hat zwar direkt auch das "Bauchgefühl", dass es die größte untere
> Schranke ist, aber ich denke, Gono wollte Dir den Beweis dafür noch selbst überlassen.
hm, eigentlich nicht, weil der Beweis trivial ist, da sich mehrere [mm] \inf [/mm] beliebig untereinander vertauschen lassen.
Damit ist das sofort klar, aus dieser Eigenschaft folgt auch sofort die Rechtsstetigkeit 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > man hat zwar direkt auch das "Bauchgefühl", dass es die
> größte untere
> > Schranke ist, aber ich denke, Gono wollte Dir den Beweis
> dafür noch selbst überlassen.
>
> hm, eigentlich nicht, weil der Beweis trivial ist, da sich
> mehrere [mm]\inf[/mm] beliebig untereinander vertauschen lassen.
wo werden denn Infima vertauscht?
Was ich mir hinschreiben kann:
[mm] $$g(x)=\inf \{f(t):\;t > x\}\,,$$
[/mm]
also sollte wohl auch gelten
[mm] $$g(x)=\inf\{\inf\{f(t_n)\}:\;\;\;\; (t_n)_n \text{ ist Folge mit }x < t_n \to x\}\,,$$
[/mm]
d.h. [mm] $g(x)\,$ [/mm] ist das Infimum "über alle Infima bzgl. einer jeden Folge [mm] $(f(t_n))_n\,$ [/mm] mit $x < [mm] t_n \to x\,.$"
[/mm]
Kannst Du das vielleicht mal formal hinschreiben, was Du meinst? Ich
glaube zudem, dass Du bei Deiner Aussage zumindest auch noch die
Monotonie von [mm] $f\,$ [/mm] mitbenutzt, wenn Du Infima "vertauschen"
willst - und ich weiß auch noch nicht so genau, was Du eigentlich genau
damit meinst, dass sich mehrere Infima beliebig einander vertauschen
lassen. Dürfen dabei nur Infima vorkommen, dürfen es nur endlich viele
sein: Die Aussage würde mich auch mal - so als "kleinen Satz" formuliert -
interessieren, wie das genau zu verstehen ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Sa 29.12.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
es gilt doch:
[mm] $\lim_{h\downarrow x} [/mm] g(h) = [mm] \inf_{h>x}g(h) [/mm] = [mm] \inf_{h>x}\inf_{t>h} [/mm] f(t)$
Soweit so schick: Nun Infima/Infimums (wie immer man es nennen mag *g*) vertauschen (warum das geht, später mehr).
[mm] $=\inf_{t>h} \inf_{h>x} [/mm] f(t) = [mm] \inf_{t>x} [/mm] f(t) = g(x)$
Soweit so schick, und alles ohne Monotonie von f (ich hab da nämlich schon lange drüber nachgedacht und bisher keinen Grund gesehen, warum man f überhaupt monoton sein soll für die Rechtsstetigkeit).
Dass man endlich viele Infima beliebig vertauschen kann, kannst du dir recht schnell selbst beweisen, in dem du es für 2 beweist, für endlich viele folgt dann Induktiv.
Der Beweis ist auch eigentlich nicht schwer, dass das doppelte Infimum immer eine untere Schranke ist, egal in welcher Reihenfolge, ist klar. Fehlt nur das mit der kleinsten unteren Schranke, aber das folgt auch sofort über die [mm] $\varepsilon$ [/mm] - Definition.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 So 30.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> es gilt doch:
>
> [mm]\lim_{h\downarrow x} g(h) = \inf_{h>x}g(h) = \inf_{h>x}\inf_{t>h} f(t)[/mm]
>
> Soweit so schick: Nun Infima/Infimums (wie immer man es
> nennen mag *g*) vertauschen (warum das geht, später
> mehr).
>
> [mm]=\inf_{t>h} \inf_{h>x} f(t) = \inf_{t>x} f(t) = g(x)[/mm]
>
> Soweit so schick, und alles ohne Monotonie von f (ich hab
> da nämlich schon lange drüber nachgedacht und bisher
> keinen Grund gesehen, warum man f überhaupt monoton sein
> soll für die Rechtsstetigkeit).
es ist ja zunächst auch nur eine hinreichende Bedingung, von notwendig
steht da ja auch nichts. Stimmt, ich habe selbst ja eigentlich nirgends
wirklich die Monotonie von [mm] $f\,$ [/mm] benutzt - das einzige, was man wohl
braucht, ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] nach unten beschränkt ist, damit bei [mm] $g\,$ [/mm] nicht
[mm] $\,-\,\infty$ [/mm] (öfter oder sogar stets) angenommen wird. Man kann auch
relativ schnell einsehen, dass [mm] $g\,$ [/mm] monoton wachsend sein muss, denn
wie gesagt: Für $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] gilt [mm] $\inf [/mm] B [mm] \le \inf A\,.$ [/mm]
> Dass man endlich viele Infima beliebig vertauschen kann,
> kannst du dir recht schnell selbst beweisen, in dem du es
> für 2 beweist, für endlich viele folgt dann Induktiv.
Mir geht's nicht drum, wie man das beweist, sondern ich wollte einfach
mal gerne die allgemeine Aussage sehen, die Du ansprichst, sowas wie:
"Seien [mm] $A_1,\ldots,A_N$ [/mm] endlich viele nach unten beschränkte Teilmengen
von [mm] $\IR\,,$ [/mm] dann gilt..."
Wie gesagt: Deine - doch etwas salopp - formulierte Aussage wollte ich
möglichst allgemein gehalten "vorgestellt" bekommen.
Mir war das halt vorher nicht so ganz klar, was Du da genau meintest -
auch, wenn ich etwas in der Richtung vermutet hatte; vor allem war mir
aber auch mit meiner Vermutung dabei nicht ganz der Bezug zur Aufgabe
hier klar. Nun ist's mir klarer, weil man halt aus Deiner Gleichung erkennt,
was Du meintest. Man kann's ja auch noch ein wenig allgemeiner
formulieren, und dann hat man das, was Du unten ansprichst: "Seien
[mm] $A_1,...,A_N$ [/mm] endlich viele nach unten beschränkte Teilmengen von [mm] $\IR\,,$ [/mm] dann gilt..."
> Der Beweis ist auch eigentlich nicht schwer, dass das
> doppelte Infimum immer eine untere Schranke ist, egal in
> welcher Reihenfolge, ist klar. Fehlt nur das mit der
> kleinsten unteren Schranke, aber das folgt auch sofort
> über die [mm]\varepsilon[/mm] - Definition.
Wie gesagt: Ich glaube nicht, dass mir so ein Beweis nicht gelingt - ich war
nur einfach selbst zu faul, mir zu überlegen, was Du da genau meinst und
wie Deine Aussage möglichst allgemein zu formulieren ist.
P.S. Ich beweise Infimum-Aussagen lieber meist mit einer geeigneten
Folge, analog zu dem, was ich hier in der Antwort geschrieben habe. Aber
natürlich könnte man mit meiner Antwort auch einen [mm] $\varepsilon$-Beweis
[/mm]
basteln.
P.P.S. Ich denke sogar, dass man die "Mehrfach-Infimums-Aussagen"
mithilfe der Vereinigung über alle Mengen auch bewiesen bekommt. Aber
nun gut - auf welchem Wege man sowas beweist, ist ja egal, solange man
weiß, was man beweist und dass die zu beweisende Aussage auch stimmt.
( Insbesondere sollte der Beweis natürlich korrekt sein.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Fr 28.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> >
> > Du willst
> > [mm]\lim_{h \downarrow x} g(h) =g(x):=\inf \{ f(t) : t > x \}[/mm]
>
> >
> > beweisen, und eine Gleichheit [mm]a=b\,[/mm] kann man zeigen, indem
> > [mm]a \ge b[/mm]
> > UND [mm]a \le b[/mm] beweist.
> >
> > Das meinte Gono!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Okay, danke. [mm]g(h) \geq g(x)[/mm] für alle [mm]h > x[/mm] ist mir klar.
> Jedoch warum soll [mm]\lim_{h \downarrow x} g(h) \leq g(x)[/mm]
> gelten?
ich hab' mir jetzt eine - wie ich denke - relativ einfache Begründung hier
überlegt:
Sei [mm] $g(x):=\inf\{f(t):\;t > x\}\,.$ [/mm] (Die Wohldefiniertheit von [mm] $g\,$ [/mm] ist
aufgrund der Monotonie von [mm] $f\,$ [/mm] klar.)
Dann existiert eine o.E. streng monoton fallende Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $f(x_n) \to g(x)\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $x_{n+1} [/mm] < [mm] x_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist sicher [mm] $f(x_{n}) \in \{f(t):\; t > x_{n+1}\}\,.$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $g(x_{n+1})=\inf \{f(t):\;t > x_{n+1}\} \le f(x_n)\,.$
[/mm]
Den Rest schaffst Du nun sicher alleine?!
Gruß,
Marcel
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