Grenzwertbestimmung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Di 20.09.2011 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | | zZ.: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{ln(x)}}{e^{x}}=0 [/mm] |
Hey Matheraum :) ,
Ich hab versucht diesen Grenzwert mit L'Hopital zu berechnen , aber im Nenner hatte ich immer [mm] \infty.Rechne [/mm] ich bei L'Hopitals Regel immer mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ? Oder geht auch [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] ?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 20.09.2011 | | Autor: | abakus |
> zZ.: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{ln(x)}}{e^{x}}=0[/mm]
>
>
> Hey Matheraum :) ,
>
> Ich hab versucht diesen Grenzwert mit L'Hopital zu
> berechnen , aber im Nenner hatte ich immer [mm]\infty.Rechne[/mm]
> ich bei L'Hopitals Regel immer mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ? Oder geht auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] ?
>
> Danke für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde den Zähler [mm] x^{ln(x)} [/mm] umschreiben in [mm] (e^{ln(x)})^{ln(x)} [/mm] und dann ein paar Potenzgesetze anwenden.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 20.09.2011 | | Autor: | tanye |
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{ln(x)}}{e^{x}} [/mm] = 0 ->
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{ln^{2}(x)}}{e^{x}} [/mm] = 0 ->
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{ln^{2}(x)-x}=0 [/mm] ->
Oder Hätte ich das lassen und mit L'Hopital versuchen sollen aber die Ableitung im Nenner würde ja immer gleich bleiben ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Di 20.09.2011 | | Autor: | abakus |
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{ln(x)}}{e^{x}}[/mm] = 0
> ->
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{ln^{2}(x)}}{e^{x}}[/mm] =
> 0 ->
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{ln^{2}(x)-x}=0[/mm] ->
>
> Oder Hätte ich das lassen und mit L'Hopital versuchen
> sollen aber die Ableitung im Nenner würde ja immer gleich
> bleiben ...
Das ist ja nicht schlimm. Hauptsache, die Zählerableitung geht gegen Null.
Mit dem von dir bereits angefangenen Weg wäre übrigens zu zeigen, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(ln^{2}(x)-x)=-\infty [/mm] gilt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 20.09.2011 | | Autor: | tanye |
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{1}{x}*2ln(x)*e^{ln^{2}x} }{e^{x}} [/mm] Dann hab ich doch im Unendlichen die 0 im Zähler oder nicht ?
|
|
|
| |
|
Hallo tanye,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ \bruch{1}{x}*2ln(x)*e^{ln^{2}x} }{e^{x}}[/mm]
> Dann hab ich doch im Unendlichen die 0 im Zähler oder
> nicht ?
Wieso das?
Das erbibt doch erstmal einen unbestimmten Ausdruck [mm]0\cdot{}\infty\cdot{}\infty[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 20.09.2011 | | Autor: | tanye |
Du hast natürlich Recht ... Soll ich weiter ableiten ? Die Ableitung wird ja gigantisch , oder muss man das anders machen ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Du hast natürlich Recht ... Soll ich weiter ableiten ? Die
> Ableitung wird ja gigantisch , oder muss man das anders
> machen ?
Ich denke, mit de l'Hôpital drehst du dich im Kreis, du wirst dieses [mm] $\ln^2$-Biest [/mm] nicht so recht los ...
Es ist [mm] $\frac{e^{\ln^2(x)}}{e^x}=\frac{1}{e^{x-\ln^2(x)}}$
[/mm]
Zeige, dass für [mm] $x\to\infty$ [/mm] der Nenner gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, dann konvergiert der Bruch gegen 0.
Dazu nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion, also [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}$
[/mm]
Picke dir also den Exponenten [mm] $x-\ln^2(x)$ [/mm] raus und zeige, dass der für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt.
(Abschätzen, Sandwichlemma ...)
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
