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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 31.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich habe ein paar Aufgaben gerechnet und habe zur Musterlösung eine Frage. Die Aufgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} (\ln(x) * \ln(1-x)) = 0
[/mm]
Begründet wird das mit:
[mm]
\limes_{n\rightarrow 0} (\ln(x) * \ln(x-1)) = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\ln(x-1)}{ \bruch{1}{\ln(x)}}[/mm]
also nach l'Hospital:
[mm]
\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\ln(x-1)}{ \bruch{1}{\ln(x)}} = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{ -\bruch{1}{1-x}}{ -\bruch{1}{\ln(x)^2}} = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{x\ln(x)^2}{1-x}
[/mm]
und:
[mm]
\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{x\ln(x)^2}{1-x} = 0 [/mm]....fertig.
meine Frage: kann man das hier schon folgern?
Schließlich habe ich doch jetzt den Fall 0 * [mm] \infty [/mm] im Zähler und im Nenner 1
....ich habe den Bruch in die Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] gebracht und weiter l'Hospital verwendet....jedoch komme ich damit auf keinen grünen Zweig, ich komme immer wieder auf [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ...... :(
Vielleicht kann mir jemand hier auf die Sprünge helfen....
Vielen Dank
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Do 31.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
Hallo Samoth
>
> ich habe ein paar Aufgaben gerechnet und habe zur
> Musterlösung eine Frage. Die Aufgabe:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} (\ln(x) * \ln(1-x)) = 0
[/mm]
>
> Begründet wird das mit:
> [mm]
\limes_{n\rightarrow 0} (\ln(x) * \ln(x-1)) = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\ln(x-1)}{ \bruch{1}{\ln(x)}}[/mm]
>
>
> also nach l'Hospital:
> [mm]
\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\ln(x-1)}{ \bruch{1}{\ln(x)}} = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{ -\bruch{1}{1-x}}{ -\bruch{1}{\ln(x)^2}} = \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{x\ln(x)^2}{1-x}
[/mm]
>
> und:
> [mm]
\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{x\ln(x)^2}{1-x} = 0 [/mm]....fertig.
>
> meine Frage: kann man das hier schon folgern?
Nein, die Begründung hast du unten richtig angegeben.
> Schließlich habe ich doch jetzt den Fall 0 * [mm]\infty[/mm] im
> Zähler und im Nenner 1
> ....ich habe den Bruch in die Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm] gebracht
> und weiter l'Hospital verwendet....jedoch komme ich damit
> auf keinen grünen Zweig, ich komme immer wieder auf
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ...... :(
Du musst nur lange genug warten!
>
> Vielleicht kann mir jemand hier auf die Sprünge helfen....
Wird gemacht:
[mm] $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x)}{\frac 1{\ln(x)}}=(\mathrm{B.-H.})\lim_{x\to 0}\frac{\frac{-1}{1-x}}{\frac{-1}{\ln(x)^2}\frac{1}{x}}$
[/mm]
[mm] $=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x)^2}{\frac{1-x}{x}}=(\mathrm{B.-H.})\lim_{x\to 0}\frac{2\ln(x)\frac 1x}{\frac{-1}{x^2}}$
[/mm]
[mm] $=\lim_{x\to 0}\frac{-2\ln(x)}{\frac 1x}=(\mathrm{B.-H.})\lim_{x\to 0}\frac{-2\frac 1x}{-\frac 1{x^2}}=\lim_{x\to 0}2x=0$
[/mm]
Erklärung: Bernoulli- de l'Hopital funktioniert nicht nur bei Grenzwerten vom Typ [mm] $\frac [/mm] 00$ sondern auch von Grenzwerten vom Typ [mm] $\frac{\infty}{\infty}$.
[/mm]
mfG Moudi
>
> Vielen Dank
>
> Samoth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Do 31.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Mfg
Samoth
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