Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 25.01.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Berechne:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{8x^3+2x^2+1}{2x^3+7x}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{x}(\wurzel{x+1}-\wurzel{x})
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{(-1)^{[x]}}{x}
[/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}\bruch{ln(1+3^x)}{ln(1+2^x)}
[/mm]
e) [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}(\bruch{3x+1}{3x+7})^x [/mm] |
Aufgabe a)
Da habe ich 4 erhalten. Stimmt dies?
Aufgabe b)
Da wusste ich nicht wie weiter. Habe mit Sandwichlemma was probiert. Fand aber nichts was mir weiter half.
Aufgabe c)
Da habe ich [mm] \pm [/mm] 0 erhalten. Korrekt?
Aufgabe d) + e)
Habe mit l'hopital versucht... Dadurch wurde alles aber nur noch komplizierter. Wie kann man da vorgehen?
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Hallo jokerose!
Wie lautet denn Dein Ausdruck nach der Anwenung mit Herrn de l'Hospital?
Denn durch anschließendes Kürzen / Umformen kann man dann die Grenzwertbetrachtung durchführen, so dass ich als Grenzwert [mm] $\bruch{\ln(3)}{\ln(2)} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.585$ erhalte.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Fr 25.01.2008 | | Autor: | jokerose |
> Hallo jokerose!
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> Wie lautet denn Dein Ausdruck nach der Anwenung mit Herrn
> de l'Hospital?
>
also ich habe da eben [mm] \bruch{ln3*(3^x+6^x)}{ln2*(2^x+6^x)} [/mm]
erhalten. Stimmt das nicht? Habe ich mich da wohl verrechnet...?
Zu Aufgabe e)
Substition kenne ich nur im Zusammenhang mit Integralberechnung.
Kann man denn Substition auch bei Grenzwerten gebrauchen...?
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Hallo jokerose!
> also ich habe da eben [mm]\bruch{ln3*(3^x+6^x)}{ln2*(2^x+6^x)}[/mm] erhalten.
Die Darstellung erscheint mir etwas ungewöhnlich, ist aber richtig.
Klammere nun in Zähler und Nenner jeweils [mm] $6^x$ [/mm] aus und kürze. Anschließend dann die Grernzwertbetrachtung.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo jokerose!
Forme zunächst um zu:
[mm] $$\left(\bruch{3x+1}{3x+7}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{3x+7-6}{3x+7}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \left(1-\bruch{6}{3x+7}\right)^x$$
[/mm]
Anschließend würde ich es mal mit der Substitution $z \ := \ 3x+7$ versuchen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 25.01.2008 | | Autor: | jokerose |
yep, nun wären also alle klar, bis auf die Aufgabe d).
Wie funktioniet dies da mit der Substituiton? oder gibt es auch noch andere Möglichkeiten?
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Hallo jokerose!
Da auch $z \ := \ 3x+7$ für [mm] $x\rightarrow+\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] strebt, darf man hier substituieren.
Es gilt: $x \ = \ [mm] \bruch{z-7}{3}$ [/mm] .
Damit ergibt sich auch für den Grenzwert:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{6}{3x+7}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{6}{z}\right)^{\bruch{z-7}{3}} [/mm] \ = \ ...$$
Dies nun gemäß  Potenzregeln umformen.
Gruß vom
Roadrunner
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ja, 4 als Grenzwert ist hier korrekt.
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]"){kind=small}
