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| Aufgabe | | Zeigen Sie, das [mm] \summe_{k=3}^{\infty} 1/(k^2-2*k) [/mm] konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert. |
Alles Neuland, unmöglicher Prof... naja kk.
Ich bin schon ganz froh das ich die Konvergenz zeigen konnte. Hab ich mit [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 1/k^2 [/mm] als Majorante gemacht, ich denke das ist korrekt.
Leider fehlt mir jetzt irgendein Ansatz für die Grenzwertberechnung. Bisher haben wir mit Abschätzen und [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] gearbeitet. Das scheint mir hier aber nicht möglich...
Wahscheinlich hab ich gerade ein Brett vor Kopf
:)
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo pferdchen01,
Also was den Grenzwert angeht, kannst du ja erstmal etwas umformen:
[mm]\sum_{k=3}^{\infty}{\frac{1}{k(k-2)}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k(k+2)}}[/mm]
Jetzt siehe dir mal diesen Artikel an. Die dortige Idee kann man auch hier verwenden. Jedenfalls habe ich bei der dortigen Summe mal spontan bei [mm]i=3\![/mm] angefangen, weil mir das irgendwie "konsequent" erschien.  Aber vielleicht hätte es auch mit einem anderen Anfang geklappt. Wir vermuten also, daß folgendes gilt(, und du mußt es dann mit vollständiger Induktion beweisen und anschließend den Term für [mm]n\to\infty[/mm] betrachten):
[mm]\left(\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k(k+2)}}\right)+\left(\sum_{j=3}^n{\frac{1}{j}}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n-2}{\frac{1}{i}}\right)-\left(\sum_{z=1}^{n-2}{\frac{1}{z(z+2)}}\right)+\frac{1}{(n-1)(n+1)}+\frac{1}{n(n+2)}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \left(\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k(k+2)}}\right)+\left(\sum_{j=1}^n{\frac{1}{j}}\right)-1.5=\left(\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}\right)-\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\left(\sum_{z=1}^n{\frac{1}{z(z+2)}}\right)+\frac{2}{(n-1)(n+1)}+\frac{2}{n(n+2)}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k(k+2)}} = 0.75 - \frac{1}{2(n-1)}-\frac{1}{2n} + \frac{1}{(n-1)(n+1)} + \frac{1}{n(n+2)}.[/mm]
So ... jetzt hoffe ich mal, die vollständige Induktion sagt, ich habe Recht. Hab's nämlich nicht überprüft.
Viele Grüße
Karl
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