Grenzwertberechnung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 11.05.2011 | | Autor: | Parkan |
| Aufgabe | [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x= \bruch{1}{n} \mbox{ fuer ein n element \IN} \\
x, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm]
[mm][/mm]
Geben Sie die folgenden Grenzwerte ein.
1. f(x)= [mm]\limes_{x\rightarrow 0} [/mm]
2. f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow 1} [/mm]
3. f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{1}{2}} [/mm]
An welchen Stellen ist f(x) unstetig? |
Hallo
Ich habe bei
1) 0
2) 1
3) 1
Unstetig ist f an allen Stellen wo x ungleich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit ausname x=1.
Ist irgendwas richtig?
Danke für Eure Hilfe
Janina
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mi 11.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Janina!
> [mm]f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x= \bruch{1}{n} \mbox{ fuer ein n element \IN} \\
x, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Geben Sie die folgenden Grenzwerte ein.
> 1. f(x)= [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm]
> 2. f(x) =
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}[/mm]
> 3. f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{1}{2}}[/mm]
>
> An welchen Stellen ist f(x) unstetig?
>
> Hallo
> Ich habe bei
> 1) 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> 2) 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 3) 1
> Unstetig ist f an allen Stellen wo x ungleich [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> mit ausname x=1.
Erklärung:
Die Kurve von f ist bis auf die Unstetigkeitsstellen die Gerade $y=x$.
Bei x=1 ist f stetig, also ist der Grenzwert gleich $f(1)=1$.
Aber bei $x=1/2$ ist f unstetig. $f(1/2)=1$, aber wenn ich mich von rechts oder links an den Wert $x=1/2$ annähere, dann nähert sich $f(x)$ an den Wert $1/2$ an, daher ist [mm] $\limes_{x\rightarrow \bruch{1}{2}}f(x)= \bruch{1}{2}$.
[/mm]
Der schwierigste Teil ist die Frage nach [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f(x)[/mm]. Bedenke, dass an jedem x der Form [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] die Funktion den Wert 1 hat. Wenn du dich also von positiven x her der Null näherst, wird f(x) immer kleiner, außer an diesen Unstetigkeitsstellen, an denen der Funktionswert auf 1 springt. Kann also dieser Grenzwert überhaupt sinnvoll angegeben werden?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
