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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x \to 0} (1+\bruch{1}{ln(x)})^{-ln(x)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also das ich diese Aufgabe mithilfe der Regel von de l'Hospital zu lösen ist scheint klar, nur mein Problem hierbei ist das ich es nicht schaffe ln(x) wegzubekommen und ich daher nicht zu meinem Grenzwert komme =(.
Wäre nett wenn mir hierzu jemand einen Lösungsansatz geben könnte ;).
lg
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Hallo MastaKnight,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mein Vorschlag: substituiere $z \ := \ [mm] -\ln(x)$ [/mm] und betrachte den Grenzwert für $z [mm] \rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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Meine Lösung wäre:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \overbrace{\left(1+\frac{1}{ln(x)}\right)^{-ln(x)}}^{1^\infty} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow0} e^{-ln(x)ln\left(1+\frac{1}{ln(x)}\right)} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow0} \overbrace{-ln(x)ln\left(1+\frac{1}{ln(x)}\right)}^{\infty*0}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow0} \overbrace{\frac{ln\left(1+\frac{1}{ln(x)}\right)}{\frac{1}{-ln(x)}}}^{\frac{0}{0}} \underbrace{=}_{l'H.} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] - [mm] \frac{1}{xln^2(x)(1+\frac{1}{ln(x)})} [/mm] * [mm] xln^2(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow0} [/mm] - [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{ln(x)}} [/mm] = -1
Aus der Stetigkeit von e folgt:
[mm] e^{-1} [/mm] = 0.367..... halt [mm] e^{-1}
[/mm]
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