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Hallo ihr
Ich habe bei einer Grenzwertbetrachtung Probleme, hoffe ihr könnt mir helfen:
[mm] \limes_{x\rightarrow x^{-}} [/mm] ln(x)ln(1-x)
Um einen "Typen" zu haben, bringe ich ln(1-x) in den Nenner:
[mm] \limes_{x\rightarrow x^{-}} \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{ln(1-x)}}
[/mm]
Jetzt habe ich den Typ 0/0 und kann den l`hospital benutzen:
[mm] \limes_{x\rightarrow x^{-}} \bruch{ln²(1-x)}{\bruch{x}{(1-x)}}
[/mm]
Nun haben wir hierzu geschrieben, das der Typ 0/0 zu finden ist. Aber ln²(1-x) ist für mich unendlich. Oder sehe ich das falsch?
Ich bedanke mich jetzt schon mal für alle Ideen/Hilfe
Mfg
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Di 01.03.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo ihr
Hallo du
> Ich habe bei einer Grenzwertbetrachtung Probleme, hoffe
> ihr könnt mir helfen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x^{-}}[/mm] ln(x)ln(1-x)
Was meinst du [mm] $\lim_{x \to x^{-}} \ln(x) \cdot \ln(1-x)$? [/mm] Wofür steht denn [mm] $x^{-}$? [/mm] Weder [mm] $\pm \infty$ [/mm] kann es sein, und ansonsten kann man doch nur Werte aus dem Intervall $[0;1]$ nehmen, oder irre ich mich da?
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass dich die Grenzwerte für $x [mm] \to [/mm] 0$ bzw. $x [mm] \to [/mm] 1$ interessieren.
Linksseitiger Grenzwert für $x [mm] \to [/mm] 1$:
[mm] $\lim_{x \to 1}\ln(x)\cdot \ln(1-x)=\lim_{x \to 1} \frac{\ln(1-x)}{\frac{1}{\ln(x)}}=\lim_{x \to 1} \frac{-\frac{1}{1-x}}{\frac{1}{x\cdot \ln^2(x)}}=\lim_{x \to 1}\frac{x\cdot \ln^2(x)}{x-1}=\lim_{x \to 1} \frac{\ln^2(x)+2x\cdot \ln^2(x) \cdot \frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to 1}\left(\ln^2(x)+2\ln(x)\right)=0$
[/mm]
Wegen der Symmetrie zu [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] gilt analog [mm] $\lim_{x \to 0}\ln(x)\cdot \ln(1-x)=0$.
[/mm]
Gruß Brackhaus
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Hallo
Entschuldige, das sollte [mm] 1^{-} [/mm] bedeuten. Aber ist ja nicht ganz so schlimm, weil du es ja damit gerechnet hast. Das - an der 1 sollte bedeuten, das man aus dem negativen kommt, wie du es glaube ich auch so verstanden hast (mit linksseitig)
Danke für deine Lösung.
Mfg
markus
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