Grenzwertberchnung einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein Kreis, dessen Radius die Maßzahl r1=a (a>0) hat. Dieser Kreis sei Figur 1.
Zwei Kreise haben jeweils den Radius mit der Maßzahl r2=1/2a. Diese beiden Kreise seien Figur2.
Jede weitere Figur entsteht aus ihrer Vorgängerfigur durch Halbieren der Radien der Kreise und durch Verdoppeln der Anzahl der Kreise.
a)Ermitteln Sie für die Figur k(k sei die Nummer der Figur;k>=1) die Anzahl der Kreise, die Maßzahl des Umfangs U(k) und die Maßzahl des Flächeninhaltes A(k) in Abhänigkeit von k.
Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folge U(k) und A(k) für k-->unendlich.
b)Zeigen Sie, dass die Folge A(k) eine geometrische Zahlenfolge ist und berechnen Sie den Grenzwert der Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte aller so entstehenden Figuren für k->unendlich.
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Ich bräuchte eine Idee des Umfangs und Flächeninhalts betreffend...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/83308,0.html
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Hallo silence([mm]10^2-1[/mm]),
> Gegeben ist ein Kreis, dessen Radius die Maßzahl r1=a (a>0)
> hat. Dieser Kreis sei Figur 1.
> Zwei Kreise haben jeweils den Radius mit der Maßzahl
> r2=1/2a. Diese beiden Kreise seien Figur2.
> Jede weitere Figur entsteht aus ihrer Vorgängerfigur durch
> Halbieren der Radien der Kreise und durch Verdoppeln der
> Anzahl der Kreise.
>
> a)Ermitteln Sie für die Figur k(k sei die Nummer der
> Figur;k>=1) die Anzahl der Kreise,
Also die erste Figur hat genau einen Kreis. Die 2te hätte bereits 2+1 Kreise. Die nächste hätte schon 4 + 2 + 1 Kreise. Sei also [mm]n_k[/mm] die Anzahl der Kreise in der [mm]k\texttt{--ten}[/mm] Figur, dann gilt:
[mm]n_k := \sum_{i=0}^{k-1}{2^i}[/mm]
Das ist eine binäre Zahl [mm]1\dotsb 1[/mm] mit den Stellen 0 bis k-1. Addiert man eine 1 hinzu, bekommt man eine Zahl mit den Stellen von 0 bis k, die so aussieht: [mm]10\dotsb 0[/mm]. Damit im Hinterkopf schreiben wir die obige Summe anders:
[mm]n_k = 2^k-1.[/mm]
> die Maßzahl des Umfangs
> U(k) und die Maßzahl des Flächeninhaltes A(k) in
> Abhänigkeit von k.
> Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folge U(k) und A(k) für
> k-->unendlich.
Hier muß man wohl davon ausgehen, daß die Figuren sich nicht überdecken, sonst macht die Aufgabe kein Sinn?
Also es gilt doch wohl:
[mm]u(1) := 2\pi a[/mm]
[mm]u(2) := u(1) + 2\frac{u(1)}{2}[/mm]
[mm]u(3) := u(1) + 2\frac{u(1)}{2} + 4\frac{u(1)}{4}[/mm]
Und für den [mm]k\texttt{-ten}[/mm] Kreis:
[mm]u(k) = k\cdot{u(1)}[/mm], oder?
> b)Zeigen Sie, dass die Folge A(k) eine geometrische
> Zahlenfolge ist
Analog zu den obigen Formeln wäre das dann
[mm]A(k) = \sum_{i=0}^{k-1}{2^i\pi\frac{a^2}{\left(2^i\right)^2}}= a^2\pi\sum_{i=0}^{k-1}{\frac{1}{2^i}}[/mm]
> und berechnen Sie den Grenzwert der Summe
> der Maßzahlen der Flächeninhalte aller so entstehenden
> Figuren für k->unendlich.
Für [mm]k\to\infty[/mm] muß man wissen, was
[mm]\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{2^i}}[/mm]
ergibt und dazu gibt es einen ![[]](/images/popup.gif) Artikel in Wikipedia (siehe Mitte des Artikels). Der Grenzwert ist also 2.
Grüße
Karl
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