Grenzwert zurückziehen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Mi 28.09.2011 | | Autor: | physicus |
Guten Abend
Wenn ich weiss, dass eine Grenzwert existiert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} f(x)(t) [/mm]
Der "Wert" [mm] (f(x))(t) [/mm] ist (von mir aus in einem vollständigen, also Banachraum) Vektorraum [mm] W [/mm]. Z.b. könnte man als Setting so was nehmen:
[mm] f: K \to L(W) [/mm], wobei $\ K $ für ein Körper steht.
Sei [mm] V [/mm] ein weiterer Vektorraum und es gäbe zwischen [mm] W [/mm] und [mm] V [/mm] einen Isomorphismus [mm] \phi [/mm].
Existiert dann dieser Grenzwert auch? Und wenn ja ist er derselbe?:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \phi f(x) \phi^{-1}(t) [/mm]
Wenn [mm] \phi [/mm] stetig ist, ist ja alles klar, aber wenn nicht?
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 28.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend
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> Wenn ich weiss, dass eine Grenzwert existiert:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f(x)(t)[/mm]
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> Der "Wert" [mm](f(x))(t)[/mm] ist (von mir aus in einem
> vollständigen, also Banachraum) Vektorraum [mm]W [/mm]. Z.b.
> könnte man als Setting so was nehmen:
>
> [mm]f: K \to L(W) [/mm], wobei [mm]\ K[/mm] für ein Körper steht.
Dann ist also x [mm] \in [/mm] K , f(x) [mm] \in [/mm] L(W) und t [mm] \in [/mm] W
Damit ist f(x)(t) = Operator f(x) im Punkt t. Verstehe ich das richtig ?
Wenn ja, gilt dann [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f(x)(t)[/mm] gleichmäßig in t oder nur punktweise ?
>
> Sei [mm]V[/mm] ein weiterer Vektorraum und es gäbe zwischen [mm]W[/mm] und [mm]V[/mm]
> einen Isomorphismus [mm]\phi [/mm].
>
> Existiert dann dieser Grenzwert auch? Und wenn ja ist er
> derselbe?:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \phi f(x) \phi^{-1}(t)[/mm]
Was soll den [mm] \phi [/mm] f(x) bedeuten ? [mm] \phi [/mm] nimmt Werte in V an, aber f(x) [mm] \in [/mm] L(W) ????
>
> Wenn [mm]\phi[/mm] stetig ist, ist ja alles klar
Mir nicht.
FRED
> , aber wenn nicht?
>
> Gruss
>
> physicus
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Entschuldige!
In der Eile ging einiges drunter und drüber:
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> Dann ist also x [mm]\in[/mm] K , f(x) [mm]\in[/mm] L(W) und t [mm]\in[/mm] W
>
> Damit ist f(x)(t) = Operator f(x) im Punkt t. Verstehe ich
> das richtig ?
>
genau!
> Wenn ja, gilt dann [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f(x)(t)[/mm]
> gleichmäßig in t oder nur punktweise ?
>
>
> >
> > Sei [mm]V[/mm] ein weiterer Vektorraum und es gäbe zwischen [mm]W[/mm] und [mm]V[/mm]
> > einen Isomorphismus [mm]\phi [/mm].
> >
> > Existiert dann dieser Grenzwert auch? Und wenn ja ist er
> > derselbe?:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \phi f(x) \phi^{-1}(t)[/mm]
>
> Was soll den [mm]\phi[/mm] f(x) bedeuten ? [mm]\phi[/mm] nimmt Werte in V
> an, aber f(x) [mm]\in[/mm] L(W) ????
Das war falsch definiert:
[mm] \phi: V \to W [/mm] und ich betrachte folgendes:
[mm] \phi^{-1}( f(x)( \phi(s))) [/mm]
So ich hoffe, dass jetzt alles stimmt.
Betreffend gleichmässige Konvergenz, bin ich mir noch nicht so sicher. Was kann man sagen, wenn gleichmässige Konvergenz vorliegt, was wenn nicht :) ?
Edit: bzgl. gleichmässiger Konvergenz, falls dieser Beweis stimmt, darf man das annehmen:
Sei $\ [mm] \alpha: [/mm] [0,k] [mm] \to [/mm] L(W) $ und sei [mm] w_n \subset W [/mm] eine Folge die gegen [mm] y [/mm] konvergiert. Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sup_{p\in [0,k]} \parallel \alpha (p)w_n - \alpha(p)y \parallel \le \sup_{p\in [0,k]} \parallel \alpha(k) \parallel \cdot \parallel w_n - y \parallel [/mm].
Ich weiss nun aber, dass [mm] \parallel \alpha(p) \parallel \le C \forall p \in [0,k], C \in \IR [/mm]. Das heisst, dass das Supremum beschränkt ist und somit konvergiert das ganze doch gleichmässig. Ist dieser Beweis richtig ?
(Beschränktheit dieser Abbildungen habe ich gezeigt in einem vorhergehenden Schritt)
Gruss
physicus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Do 29.09.2011 | | Autor: | physicus |
Hilft es vielleicht, wenn ich sage, dass $\ f $ eine Halbgruppe ist? Sie ist sogar eine stark stetig Halbgruppe und ich würde gerne zeigen, dass dann
[mm] g(x)(s):=\phi^{-1}(f(x)(\phi(s)) [/mm]
eine stark stetige Halbgruppe ist. Dass $\ g $ eine Halbgruppe ist, ist leicht zu zeigen. Mir fehlt allerdings folgende Stetigkeitsaussage:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} g(x)s = s \forall s \in W [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Do 13.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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