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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Folge [mm] (a_{i})_{i=0,1,2,..}=(4,-2,1,-\bruch{1}{2},\bruch{1}{4},...). [/mm] Bestimmen Sie [mm] a_{i} [/mm] so, daß Sie auch [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}a_{i} [/mm] angeben können. |
hallo, für die aufgabe haben wir eine lösung erhalten, die leider schwer nachzuvollziehen ist.
wie die folge entsteht, versteh ich: [mm] a_{i}= 4*(-\bruch{1}{2})^{2}
[/mm]
aber das mit der summe ist mir ein rätsel. und zwar steht da: geometrische Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a_{i} [/mm] = 4 [mm] \summe_{i=0}^{\infty}c^{i}=4\bruch{1}{1-c}=4\bruch{2}{3}=\bruch{8}{3}
[/mm]
ich möchte das ergebnis wirklich gerne verstehen, aber leider schaffe ich das nicht.
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[mm]\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}a_{i}[/mm]
> angeben können.
> hallo, für die aufgabe haben wir eine lösung erhalten, die
> leider schwer nachzuvollziehen ist.
> wie die folge entsteht, versteh ich: [mm]a_{i}= 4*(-\bruch{1}{2})^{2}[/mm]
Das ist eigentlich der schwierigste SChritt hier. Du hast eine rekursive Darstellung der Folge gefunden: [mm] a_{n+1}=a_{n}*(-\bruch{1}{2})
[/mm]
Es handelt sich um eine geometrische Folge. Jetzt kann man daraus eine geometrische Reihe bilden, in dem man alle Folgenglieder zusammenzählt, d.h. die Summe aus allen Folgengliedern bildet.
Geometrische Folgen haben folgende Eigenschaft:
[mm] a_{0}*q^{n}
[/mm]
wobei, [mm] a_{0} [/mm] das erste Folgenglied ist, also hier c=4
und q ist eine Konstante mit der multipliziert wird, hier: -(1/2)
Falls |q|<1 ist, so gilt folgende Formel für die geometrische Reihe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n}c*q^{n}= c*\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-q^{n}}{1-q}
[/mm]
[mm] q^{n} [/mm] konvergiert gegen 0 für n --> [mm] \infty
[/mm]
also nur mehr einsetzen: [mm] 4*\bruch{1}{1-(-0.5)}=4*\bruch{2}{3}=\bruch{8}{3}
[/mm]
Und das ist das Ergebnis!
War ich zu schnell? wichtig ist nur die Formel für geometrische Reihen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}*\bruch{1-q^{n}}{1-q}
[/mm]
MfG
GorkyPark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Do 01.02.2007 | | Autor: | Hing |
vielen dank für deine antwort.
ich habe tatsächlich beim lernen einfach nur übersehen das arithmetische und geometrische reihen einem bestimmten bildungsgesetz folgen.
mit deiner hilfe habe ich es nochmal nachgelesen und verstanden.
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