Grenzwert zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left( \bruch{1}{\wurzel{1+n}} - \bruch{1}{\wurzel{n}}\right) *n[/mm] |
Hallo, ich habe hier ein kleines problem bei der aufgabe. also in meinen augen ist logisch das [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+n}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] gegen null konvergieren. also würde ich sagen das der grenzwert hier null ist, aber mich irritiert das *n. sind meine überlegungen denn richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Do 09.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo mathe-trottel
[mm]
\lim_{n\to\infty}\left(
\bruch{1}{\wurzel{1+n}}-\bruch{1}{\wurzel{n}}\right) *n
=\lim_{n\to\infty}
\bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{n(1+n)}} *n
=\lim_{n\to\infty}
\bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{\bruch{n(1+n)}{n^2}}}
=\lim_{n\to\infty}
\bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}
=\lim_{n\to\infty}
\bruch{\left( \wurzel{n}-\wurzel{1+n}\right)
\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}{\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}
[/mm]
[mm]
=\lim_{n\to\infty}\bruch{\left(n-1-n\right)}
{\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}
=\lim_{n\to\infty}\bruch{\left(-1\right)}
{\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}
=0
[/mm]
Zu viele Erklärungen sind auch nicht nötig. Versuche es nachzuvollziehen!
Schöne Grüße
galileo
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danke,kannst du mir denn wohl noch erklären wie du vom letzten schritt auf den grenzwert null kommst? das verstehe ich nämlich nicht,der rest ist mir klar.nur der letzte schritt nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hast du den Zähler ausgerechnet und dann mit dem verglichen, was du im 1. Post geschrieben hast?
Bitte immer erst über ner Antwor 10 Minuten brüten, und dann erst fragen. Hie z. Bsp. was hast du mit dem letzten ausdruck gemacht?
Gruss leduart
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wieso das gegen null konvergiert verstehe ich nun.
aber ein schritt verstehe ich nicht:
[mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}} =\lim_{n\to\infty} \bruch{\left( \wurzel{n}-\wurzel{1+n}\right) \left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}{\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}
[/mm]
wie komme ich denn darauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Do 09.11.2006 | | Autor: | galileo |
> wieso das gegen null konvergiert verstehe ich nun.
> aber ein schritt verstehe ich nicht:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}} =\lim_{n\to\infty} \bruch{\left( \wurzel{n}-\wurzel{1+n}\right) \left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}{\left( \wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)}[/mm]
>
> wie komme ich denn darauf?
Limes aus dem Nenner ist 1, also schreibe ich ihn nicht mehr. Und dann erweitere ich den Bruch durch
[mm]\left(\wurzel{n}+\wurzel{1+n}\right)[/mm]
damit im Zähler die Wurzeln verschwinden.
Alles klar?
Schöne Grüße, 
galileo
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ja das ist klar. danke schon mal. noch mal eine frage:
[mm] \lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{n(1+n)}} \cdot{}n =\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{\bruch{n(1+n)}{n^2}}} [/mm]
was machst du denn da? ich dachte ich hätte es verstanden, aber anscheinend doch nicht, da ich nicht von allein drauf kommen würde. wäre echt nett wenn du mir das nochmal erklären könntest
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Hi!!
Du hebst aus der Wurzel in Nenner n heraus, damit du mit dem n im Zähler kürzen kannst.
> [mm]\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{n(1+n)}} \cdot{}n =
\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{\bruch{n^2(n(1+n))}{n^2}}} \cdot{}n =
\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{n\wurzel{\bruch{(n(1+n))}{n^2}}} \cdot{}n=
=\lim_{n\to\infty} \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{1+n}}{\wurzel{\bruch{n(1+n)}{n^2}}}[/mm]
Ich hoffe es ist jetzt klarer
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