Grenzwert x -> unendlich < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 16.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{x+x^2}{e^x}$ [/mm] |
Hallo,
ich habe das folgendermaßen lösen wollen:
$\ [mm] \frac{x+x^2}{e^x} [/mm] = f(x)$
$\ [mm] (x+x^2)\frac{1}{e^x} [/mm] = f(x)$
$\ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(x+x^2)\frac{1}{e^x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(x+x^2) [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}{e^x} [/mm] = [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] * 0 = 0 $
Der Ergebnis stimmt zwar, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich deswegen auf einen richtigen Lösungsweg schliessen darf.
Bin skeptisch was $\ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(x+x^2) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ betrifft.
Darf ich das?
Andernfalls muss ich eben versuchen, das immer auf die elementaren Grenzwerte zurueckzuführen, was wohl vernünftiger ist.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
So darfs Du nicht vorgehen !
Es gilt
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\phi(x)* \limes_{x\rightarrow\infty}\psi(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\phi [/mm] * [mm] \psi)(x)$
[/mm]
nur dann, wenn [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] beide einen endlichen Grenzwert haben
Bei Deiner Aufgabe kann ich Dir 2 wege anbieten:
1. Zweimalige Anwendung von de L'Hospital.
oder
2. Für x>0 ist [mm] e^x [/mm] > [mm] x^3/6 [/mm] (Exponentialreihe !!). Dann:
$ 0< [mm] \frac{x+x^2}{e^x}< 6/x+6/x^2 [/mm] $
Jetzt x [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 16.09.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
vielen Dank, habe so etwas schon fast vermutet.
Grüße
ChopSuey
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