Grenzwert von komplexer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Gegeben sei die komplexe Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] a_{n}= \bruch{n+i}{n-i}. [/mm] Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] |a_{n}|=1 [/mm] und berechnen Sie [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n}.
[/mm]
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Hallo,
ja also, irgendwie hab ich keine Ahnung wie ich das machen muss. Ich denke mir das für den Grenzwert sicherlich auch wieder was komplexes rauskommen muss, oder? Hab mich jetzt schon eine ganze Weile damit beschäftigt, meine Bücher etc. haben mir bisher nicht wirklich beim Verständnis geholfen. Kann mir vielleicht jemand nen bisserl was dazu erklären oder mir helfen. Vielleicht auch das einfach nur mit mir zusammen durchexerzieren, damit ich das verstehe?? Wäre echt nett.
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Hallo chipbit,
bringe zunächst mal [mm] $\frac{n+i}{n-i}$ [/mm] auf die Normalform [mm] $x_n+y_n\cdot{}i$
[/mm]
Erweitere dazu mit dem komplex Konjugierten des Nenners....
Dann hast du ne Folge [mm] $(x_n+y_n\cdot{}i)$ [/mm] mit [mm] $x_n\to [/mm] x$ und [mm] $y_n\to [/mm] y$
(Die Folgen der Real- und der Imaginärteile)
Dann konvergiert deine Folge also gegen [mm] $x+y\cdot{}i$
[/mm]
Außerdem kannst du [mm] $|a_n|$ [/mm] leicht berechnen, wenn's in der Normaldarstellung ist..
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
okay, wenn ich das mit dem komplex Konjugierten mache und mich nicht verrechnet habe, dann komme ich auf: = [mm] \bruch{n^2-1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{2ni}{n^2} [/mm] richtig?
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Hi,
ich meine, im Nenner müsste es jeweils [mm] $n^2+1$ [/mm] heißen.
Die Zähler stimmen !
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
achja, *blöd bin*, das hab ich ja voll übersehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
mh, okay, dann also weiter für [mm] |a_{n}|= \wurzel{ \bruch{(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2} + \bruch{(2n)^2}{(n^2+1)^2}} [/mm] da bekomme ich dann [mm] =\wurzel{\bruch{n^4-2n^2+1}{n^4+2n^2+1} +\bruch{4n^2}{n^4+2n^2+1}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{n^4+2n^2+1}{n^4+2n^2+1}} =\wurzel{1} [/mm] =1
womit ja dann [mm] |a_{n}|=1 [/mm] gezeigt wäre. fein :)
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Hi,
> mh, okay, dann also weiter für [mm]|a_{n}|= \wurzel{ \bruch{(n^2-1)^2}{(n^2+1)^2} + \bruch{(2n)^2}{(n^2+1)^2}}[/mm]
> da bekomme ich dann [mm]=\wurzel{\bruch{n^4-2n^2+1}{n^4+2n^2+1} +\bruch{4n^2}{n^4+2n^2+1}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{n^4+2n^2+1}{n^4+2n^2+1}} =\wurzel{1}[/mm] =1
> womit ja dann [mm]|a_{n}|=1[/mm] gezeigt wäre. fein :)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
weiter so 
Nun nur noch den Grenzwert ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
mh, also ich glaube das für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] der Term [mm] \bruch{n^2-1}{n^2+1} [/mm] gegen 1 läuft und der andere gegen 0.
Lass ich dabei aber das i einfach außer acht oder muss ich das da irgendwie mit einbringen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 25.11.2007 | | Autor: | chipbit |
ach, das kann ich dann also einfach so schreiben, ja? Na dann ist ja alles klar, super! Danke dir für die Hilfe!!! :D
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
läuft und der andere gegen 0. ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
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